[대학교이상] 이거 단조수렴정리안쓰고증명가능함?

[익명(118.235)]

a_1=1

a_(n+1)=sin(a_n)

일때 엡실론 델타로 lim a_n=0인거 증명가능함?

단조수렴정리안쓰고

- dc official App

[ultraproduct(ultraproduct)]

애초에 단조수렴정리 증명이 쉬운데 그거 그대로 적용하면 되지.

[익명(118.235)]

다른방식으로 삼각부등식으로 비빌수잇나해서 - dc App

[익명(180.67)]

https://math.stackexchange.com/questions/4603/if-a-n-subset0-infty-is-non-increasing-and-sum-a-n-infty-then-lim

[익명(180.67)]

응용하면 될듯.(수알못이라)

[익명(77.103)]

a_n은 0 이상의 감소수열이니까, 만약에 a_n의 극한값이 0이 아니라 하면, 입실론델타 정의에 의해서 어떤 eps_0>0이 존재하여 모든 자연수 n에 대해서 a_n≥eps_0을 만족하게 됨. 그렇다면 평균값의 정리에 의해서 임의의 n>m에 대해서 |a_n-a_m|=|sin(a_{n-1})-sin(a_{m-1})|≤|cos(c)|*|a_{n-1}-a_{m-1}|을 만족하는 c∈(a_n,a_m)이 존재하는데, 가정에 의해서 a_n은 [eps_0,1]의 원소이므로 |cos(c)|의 최댓값은 cos(eps_0)이 됨. 따라서 |a_n-a_m|≤cos(eps_0)*|a_{n-1}-a_{m-1}|≤...≤cos(eps_0)^{m-1} |a_{n-m+1}-a_1|.

[익명(77.103)]

결국 임의의 n>m에 대해서, |a_n-a_m| ≤ cos(eps_0)^{m-1} |a_{n-m+1}-a_1| ≤ 2cos(eps_0)^{m-1}를 만족하니까 {a_n}은 코시수열이 되어서 수렴할수밖에 없음.

[익명(118.235)]

[익명(77.103)]

위의 평균값 정리나 코시수열을 사용하는게 부담스럽다면, sin(x)의 테일러 정리를 이용하는 풀이도 있음. 똑같이 a_n의 극한값이 0이 아니라 하면 어떤 eps_0>0이 존재하여 모든 n에 대해서 a_n∈[eps_0,1]을 만족하게 되고, 이제 sin(x)=∑(-1)^k x^{2k+1}/(2k+1)!로부터, sin(x) = x * ∑(-1)^k x^{2k}/(2k+1)!인데, sigma 내의 항은 교대급수이므로, ∑(-1)^k x^{2k}/(2k+1)! ≤ 1 - x^2/6 + x^4/120 을 만족하게 됨. 한편 함수 h(x)=1-x^2/6+x^4/120은 [0,1]에서 감소함수임을 알 수 있고, 따라서 [eps_0,1] 위에서 최댓값은 h(eps_0)∈(0,1)이 됨.

[익명(77.103)]

이제 a_n = sin(a_{n-1}) = a_{n-1} * ∑(-1)^k a_{n-1}^{2k}/(2k+1)! ≤ a_{n-1} h(a_{n-1}) ≤ a_{n-1} h(eps_0)이므로, a_n ≤ a_1 h(eps_0)^{n-1}을 만족하게 되므로 a_n은 0으로 수렴할수밖에 없음.

[익명(77.103)]

첫번째 댓글에서 sin(x)의 테일러 정리가 아니라 테일러 급수.. 빠르게 적다보니 말이 헛나왔음.

[익명(77.103)]

어쨌든, 일반적으로 저런 꼴의 a_{n+1}=f(a_n)으로 정의된 수열이 있고 f(x_0)=x_0을 만족하는 고정점 x_0이 있으면, 평균값 정리나 비스무리한걸 이용해서 |a_{n+1}-x_0| = |f(a_n)-f(x_0)| ≤ |f'(c)| * |a_n - x_0|으로 변형하고, 저기서 |f'(c)| < c < 1을 만족하는 n에 관계없는 상수 c>0이 존재함을 보장할 수 있다면, |a_{n+1}-x_0| ≤ c|a_n-x_0| ≤ c^n |a_1-x_0| 꼴로 만들어서 a_n이 x_0으로 수렴함을 보임.

[익명(77.103)]

이 문제의 경우에는 고정점이 x_0=0이고 cos(0)=1이니까 저런 c가 존재하지 않는데, 반대로 a_n이 0으로 수렴하지 않는다 가정하면 모든 n에 대해서 항상 a_n≥eps_0임을 보일수 있고 이 경우에는 저런 c의 존재를 보장해줄수 있게됨.

[익명(118.235)]

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이거 임의의 eps에 대해 [eps/2, 1]에서 축약사상정리 쓰면 가능