X는 Topological space


Y는 Hausdoff space


f와 g는 X에서 Y로 가는 continuous function


(1) {x in X : f(x)=g(x)} 는 closed set


(2) A는 X의 dense set이고, A로 restriction 한 함수를 각각 f', g'라고 편의상 쓸 때, f'=g' 이면 f=g






풀이)


(1) X에서 Y^2으로 가는 함수 h를 h(x)=(f(x),g(x)) 로 정의한다. 이것은 연속함수이다.


C={x in X : f(x)=g(x)}, D={(y,y): y in Y} 이라 하면, C=h^(-1)(D) 이다.


D가 closed in Y^2 임을 보이면, h가 연속이기 때문에 C가 연속이다.


Y^2 - D가 open 임을 보이면 되는데, Hausdoff 조건을 이용하여 쉽게 정의대로 할 수 있다.


다른 방법으로는, 각각의 그래프가 closed 라는 사실에서 겹치는 점들을 X로 가져오면 된다.


이 때 projection map을 사용하면 closed map이 아닐 수도 있기 때문에 살짝 다르게 가져오면 된다..

(저번 제 질문에서 Y가 compact이어야 projection map이 closed map이 됐었죠..)


(2) f=g라는 것은 {x in X : f(x)=g(x)}=X 와 필요충분조건이다.


만일 X-{x in X : f(x)=g(x)}가 공집합이 아니라서 y라는 원소를 택할 수 있다고 가정하자.


(1)에서 {x in X : f(x)=g(x)}가 closed 임을 보였기 때문에 X - {x in X : f(x)=g(x)}가 open이다.


따라서 거기에 포함되는 y의 nbh U를 잡을 수 있다.


U와 {x in X : f(x)=g(x)}는 intersect하지 않고, 더더욱 {x in A : f(x)=g(x)}와도 그렇다.


그런데 A가 dense set 이므로 U와 A는 intersect 하다.


따라서 모순이다.





위상수학 처음 배우고 이 문제를 봤을 때는 어려워서 못 풀었던 기억이 나네요..