[일반] 벡터공간의 원소 수가 무한개일 때

[익명(27.35)]

그 부분공간의 원소는 {0} 빼고는 모두 무한개인 거 맞나요 ㅠㅠ

[ultraproduct(ultraproduct)]

그렇다는 보장 없음.

[ultraproduct(ultraproduct)]

기반이 되는 field가 infinite이면 당연히 성립하지. 그런데 finite field 위의 vector space의 경우 infinite이지만 finite nonzero subspace가 있는 녀석도 있음.

[ultraproduct(ultraproduct)]

사실은, finite field 위의 infinite vector space는 전부 내가 말한 걸 만족하지만.

[익명(223.38)]

아..그럼 실수 위에서 벡터공간이면 성립하겠네요..

[익명(223.38)]

[익명(118.39)]

대수에서 체 Z_p위에서 다항식환 Z_p[x]의 분수체의 형태의 경우 이를 표기상 Z_p(x) ={ f(x)/(g(x) ㅣf(x),g(x) in Z_p[x], g(x)!=0} 라고 했을 때 Z_p(x)는 체Z_p 위의 벡터공간으로 원소가 무한하지만 그 부분 공간인 Z_p는 유한하면서 {0}이 아닌 벡터공간임. 즉 위의 댓글의 예시 같은애임

[익명(118.39)]

수학에서 벡터공간을 논하려면 체를 먼저 논해야함. 체는 크게 2종류인데 표수(characteristic)가 소수p 이거나 0임. 표수가 p인 임의의 체는 Z_p를 부분체로 가지고 표수가0인 임의의 체는 유리수체Q를 부분체로 가짐

[익명(118.39)]

Z_p, Q를 소체(prime field) 라고 부르는데 Q를 소체로 가지는 임의의체F 위의 벡터공간V에서는 작성자의 주장이 맞음 Q의 확대체 F(물리로 치면 스칼라) 위의 벡터공간 V를 어떻게 잡더라도 {0}을 제외한 부분벡터공간은 원소가 무한임 그리고 그런 각각의 벡터공간은 부분공간으로 F와 동형인 벡터공간을 가지고 있음.

[익명(118.39)]

F의 예로 실수체R을 많이 들고 있음.