수학갤에서 온 수붕이야 방가워
일단 저 사진속에 내용들에 대한 질문인데
1890년 린델뢰프 가설이 생기면서
수학자 하디 와 리틀우드가 O(t^ ε) 대신에
O(t^1/4+ ε) 까지 발견했잖아
내가 알기론 하디-리틀우드 리만제타함수 함수 근사 공식을 이용해
O(t^1/4) 까지 나타낼수 있는건 알고 있는데
그렇다면 임의의 양수 ε>0 에 대해 생각해서
O(t^1/4+ ε) 로 나타낼수도 있는거임 ??
일단 저 사진속에 내용들에 대한 질문인데
1890년 린델뢰프 가설이 생기면서
수학자 하디 와 리틀우드가 O(t^ ε) 대신에
O(t^1/4+ ε) 까지 발견했잖아
내가 알기론 하디-리틀우드 리만제타함수 함수 근사 공식을 이용해
O(t^1/4) 까지 나타낼수 있는건 알고 있는데
그렇다면 임의의 양수 ε>0 에 대해 생각해서
O(t^1/4+ ε) 로 나타낼수도 있는거임 ??
O(t^(1/4+e))의 의미는 implied constant C가 e에 의존한다는 뜻임. 우리가 충분히 큰 t에 대해서 log t보다 t^e가 더 큰건 알지만 log t <= C t^e라는 부등식이 t>=100에서 성립한다고 하려면 예를들면 e=0.01에서 C 찾으려면 (log 100)^100이어야하잖아
재밌는건 ζ(1/2+it)=O(t^1/4) 를 이용해 하디가 제타함수의 비자명한 영점들이 임계선 위에 무한이 많음을 입증을 했는데 나도 처음에 ζ(1/2+it)=O(t^1/4) 이 린델뢰프 가설과 비슷한 점이 있어 보여서 서로 관계가 있다 생각했는데 구글 검색해 저 사진속의 내용을 최근에 접했엉 ㅇㅅㅇ;
뭐 하디 리틀우드가 1/4를 나중에 따로 log텀없이 보였는가는 모르겠는데 그거만해도 바로는 못보일 내용일거고 1/4+e는 functional equation만 있으면 복소함수 성질로 바로 나오는 bound니까 쉽게 썼을거라 저기 적어놓은거일거임
아하 1/4+엡실론이 functional equation 을 이용해 복소함수 성질로 바로 bound를 나타내기 쉽구나 아 t의 지수가 1/4로 나타내는건 하디-리틀우드의 제타함수 approximate functional equation 식의 s=1/2+it를 대입하면 big oh 로 t의 지수가 1/4로 나타낼순있엉 그 tichmarsh의 책의 보면
1/6+e도 sharp bound는 아냐. 그냥 쓰기 편하게 말하려고 그런거지. 1/2축 bound도 저 e역시 RH를 믿으면 log t의 지수로 정확한 예측치가 있고
아 그런거네 오호 정말 정말 고마워 이제 좀 이해가 되었엉 ㅜㅜ 혹시 너도 정수론쪽으로 공부하고 있어?? 내가 사실 해석적 정수론쪽으로 공부하고 있는데 특히 제타함수 관련된 내용쪽으로 공부하고 있엉