어디다 물어볼 데도 없어서 내 망상 좀 여기다 끄적이겠음

내가 확정적 말투로 쓴 모든 것은 최대한 '나는 ~라고 생각함'이라 봐주셈. 일단 학부 졸업생따리까지는 했는데 개 야매로 배운 수린이라 틀릴 가능성이 농후함...

존나 장황하게 썼는데 민망하게 기본부터 틀릴 수 있음 ㅎ;;
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확률을 공부할때마다 느끼는건데, 뭔가 다른 수학적 개념과 달리 명확하지 않은 느낌을 많이 받음.

예를 들면 문제를 해결할 때 특히. 다른 수학에서의 문제들은 실수했을 때 내가 잘못한 걸 명확하게 알지만, 유독 확률쪽만큼은 마치 수수께끼문제? 같이 풀때도 찝찝하고 틀렸을때는 뒤통수를 맞는 느낌임.

다른 예로는 뭐 도박사의 오류라던지, 몬티홀문제 등을 처음 접할때 가지는 오류가, 수학적 정의에 대한 잘못된 이해에서 비롯되기보다는, '정의'적으로 설명하기 어려운 직관의 문제 같은 느낌을 많이 받았음

말로 표현하려니까 이게 되게 어려운데, 암튼 위에 쓴 것과 흡사한 그런 명확하지 않고 끈적한 느낌을 많이 받았음.




그래서 나는 저걸 최대한 이해해보고자 이런 생각들을 해봤음.
크게 2가지 생각임


1. 확률 계산은 '시점'에 따라 다른가?

보통 우리가 확률에 대해 일희일비까지 하면서 과몰입하는 상황은 게임에서 많이 연출이 됨. 잠깐 내가 접한 최초의 일희일비를 소개하자면, 마비노기라는 게임의 아이템 수리 확률임. (당시 날짜는 200x년 초딩때임)

일정한 수리 확률이 있음.
이때 최대 내구도가 10인 아이템의 내구도가 0이 됐을 때, 아이템의 수리를 통해 성공하면 내구도가 채워지고, 실패하면 최대 내구도(10)가 깎이는 시스템이었음.

이 때, 수리 방법은 두 가지가 있음
A버튼 : 내구도를 1씩 수리
B버튼 : 한 번에 끝까지 수리
둘 다 기본적으로 '10번'에 대한 수리확률을 적용한다는 것에는 변함이 없음에 주목해주셈. (즉 수리를 끝까지 한다면 A버튼 만으로는 10번, B버튼 만으로는 1번 누르면 됨)

난 항상 궁금했음. '1씩 10번 수리하는 것과, 한 번에 10번 수리하는 것은 과연 같은 상황이라 말해도 좋을까?'

일단 이 질문은 제쳐두고, 여기서는 '1씩 10번 수리하는' 상황에 대해 우선 집중적으로 말해보고자 함.






예를 들면 이런 상황임

Ex)A라는 행위자가 x년x월x일x시x분x초가 되자마자 딱
연속으로 5번 동전을 던지는 시행을 한다는 상황을 생각해보겠음.
(단, 동전의 앞뒷면을 확인할 방법은 오로지 행위자가 그때그때 관찰할 수밖에 없다고 가정함)


(위와 같은 가정이 붙은 이유는 우리가 능동적으로 확률에 영향을 받는 보통의 상황이기 때문임. 위에서는 마비노기의 수리의 예시를 들었지만, 다른 확률적 뽑기 등의 상황도 비슷함)
(또, 후술할 이유 때문에 그냥 일반적인 던지기에 대한 확률계산이 아닌, 특별한 던지기(정해진 행위자 및 시간)를 가정했음)


※ 계산할 확률은 결국 저 때의 동전던지기의 결과가 앞면이 5번 나올 확률이라고 가정하겠음.
또, 실제 저 때 벌어진 결과가 앞면이 5번 나왔다고 가정하겠음.





이제 우리는 행위자 입장이 되어보겠음. 4번 연속 앞면이 나온 상황까지 진행이 됐음.
4번 연속 앞면이 나왔다 하더라도 다음 동전이 앞면이 나올 확률은 1/2일텐데, 이 때 5번째에 실제로 앞면이 나왔을 경우 행위자가 1/32이라고 신기해하는 순간은 많이 봤을것임.
그런데 이렇게 신기해하는건 수학적으로 이상하다는 생각이 듬.

즉 1/32는 첫 번째 던지기조차 하기전까지 우리가 예상한 확률이어야 맞지 않냐는거임. 그러니까 4번째 던지기를 마쳤을 때 5번째 던지기를 예상한 확률은 1/2잖음?

결국 결과만 놓고 보면 4번째 던지기를 마쳤을 때는 1/16은 우리 머릿속에서 사라져야만 한다는 뜻이 됨. 그러니까 이미 4번 성공한 시점에서 그냥 평범한 동전 1번 던지기가 되버린다라는 뜻이 됨.

그런데 비슷한 논리로, 3번째 던지기를 마쳤을 때는 1/8은 우리 머릿속에서 사라지게 되고, 4번째 던지기를 할 땐 실질적으로는 1/4의 동전던지기가 되고...

이런식으로 생각하면 결국 '연속으로 던지기'라는 행위의 이름과 다른 이런 '불연속적' 상황에서는 1/32라는 확률 계산(추측)은 던지는 행위자 본인에게는 쓸모가 없다는게 되지 않나?



결국 던지는 사람은 1/32라는 확률이 오로지 던지기 전에만 유효함. 던지는 중, 혹은 다 던진 후에는 결코 1/32를 찾아볼 수 없는 현상이 발생함.

저 때의 행위자가 실시간으로 계산하기에는
던지는 중에는 1/32에서 1/2로 커져나가다가
던진 후엔 결국 1
이 되니까 말임.
(우리가 위에서 계산하기로 한 확률이 무엇이었는지 생각해주었으면 함(특히 밑줄 친 부분). 우리가 일반적으로 접한 확률 문제상황(아래 서술할 '관찰자' 시점)과 다른, 현실적인 문제상황이기에 답이 저렇게 나왔다고 말하고 싶음.)

결국 행위자는 매 순간마다 결과를 확인할 수 밖에 없기 때문에 실질적으로 1/32는 던지기 전에만 느낄 수 있음.





만약 1/32이 동전 던지는 중이나 후에도 쓸모있으려면 저 던지는 과정 전체를 모르는 제3자가 와야함. 그러니까 제 3의 관찰자가 '저 사람이 동전을 연속으로 5번 던졌는데, 던지는 과정과 결과를 안 보고 확률을 계산'하는 경우들말임. (보통 확률 문제 상황은 이런 상황임)

정리하면, 맨 처음에 썼던 '시점'이 무엇인지 정확히 말하면
동전을 던지는 행위자/관찰자의, 각 시간에 따른 시점임.

관찰자 : 일반적 동전던지기 (과정을 모름)
행위자 : 특별히 정해진 나만의 동전던지기
+ 언제 확률을 계산할 것인지 (시행 전, (중), 후)

이런 식이 된다는 의미임.













2. 확률은 상황에 따라 유동적인가?


위의 1의 상황에서, 행위자 입장에서 정 1/32을 느끼고 싶으려면 동전 5개를 한 번에 던져야 함.
앞선 경우에는 동전이 1개 뿐이라, 5번 연속으로 던지는 각 결과의 관측을 위해서는 실제로 동전이 앞면이 나왔는지 확인을 한 뒤에 동전을 다시 던져야 하는 불상사가 발생함(위에 쓴 '일반적 상황'의 가정에 의함). 따라서 동전을 던지는 중에 확률이 계속 커지게 됨.
(아니면, 뒷면이 나와서 확률이 0이 되거나!)
하지만 이 경우는 동전을 던지는 중에는 적어도 1/32를 계속 느낄 수 있음. (심지어 던진 후에도, 눈만 가린다면 1/32를 절실히 느낄 수 있음!)

그러니까 행위자 입장에서는, 연속으로 5번 던지는 것과 5개를 동시에 던지는 것은 엄연히 다른 시행이라고 말하고 싶음.
이걸 동형이 아니다라고 말하면 좋을까? 암튼 그런 느낌임
(물론 과정을 모르는 관찰자 입장에서는 여전히 같다고 주장함)

즉 1의 맨 위에 썼던 마비노기에 대한 예시로 돌아오면, 난 이렇게 결론짓고 싶음.
적어도 수리 하기 전에는 두 확률은 같지만, '1포인트 수리'를 한 시점에서부터는 그 결과가 어찌되든 상관없이 두 확률은 다르다.
(행위자 입장에서 다르단 얘기임!)
(물론 여기선 앞과 다르게 수리하는 내내 눈을 감는다는 선택지도 있지만, 솔직히 그러면 저 두 시행을 구분하는 의미가 없잖음...)

하지만 확률이 다르다고는 하지만, 그것은 수리가 1포인트씩 한창 진행중일때의 확률계산 얘기.
결과론적으로는 '어느 쪽이든 수리 결과는 동일했을것이다'고 생각하는게 자연스럽고, 또 맞는 얘기라고 생각함.

그런데 이렇게 확률이 계속 달라지는데 '결과는 같다'는 생각이 맞다는 생각이 진짜 맞는 것일까?
물론 나는 맞다고 생각함. 여기선 그 이유를 다루기 앞서 잠깐 다른 얘기를 해보겠음.

인위적인 확률과, 자연적인 확률에 대한 얘기임.







일단 내 이후의 세대들한테는 인위적 확률이 너무나도 익숙할 것임. 그러니까 '언제든지 절대자가 정한 확률대로' 결과가 나오는 것 말임.


예를 들면 역시 게임쪽이 있겠음. '3%확률로 어떤 아이템을 얻는다!'라고 하면 변동확률이나 주작이 아닌 이상 항상 얻는 확률은 3%로 고정되잖음?

그런데 이는 현실에서는 일어나기 힘듬.



실제로 주사위나 동전을 던진다 하더라도, 보통 우리는 던지는 행위자의 습관, 그 때의 날씨, 습도 등등은 고려하지 않잖음?

그러면 현실적으로 동전던지기의 확률이 50%라는건, 이상한 얘기 아님? 우린 근사치를 구했을 뿐.

내가 하고 싶은 얘기는, 이런 사소한 억지로부터 출발함.




결국 하고 싶은 말은 자연적인 확률에 대한 계산은 사실 정확한 계산이 아니라 추측에 불과하다는 것임

보통 사람들이 확률이 '정확히 정해진 것'이라는 생각을 갖는 주 원인 중 하나가 저런 인위적 확률을 많이 접해서, 혹은 확률을 배우는 것을 답이 명확히 나오는 수학이라는 과목으로부터 배워서 그런게 아닐까하는 생각을 해봄.

결국 자연적인 확률에 대한 문제의 답은, 정확하게 하늘로부터 유일하게 정해진 그 확률을, 그러니까 실제적으로도 큰 수의 법칙을 따르는 그 확률을 정확히 계산한 결과가 아니라는 것임.

우리는 우리에게 주어진 정보만으로 일반적인 상황에 대한 확률을 추측할 뿐이라는 것임.

당장 1번에 썼던, 행위자와 관찰자를 살펴보겠음.
행위 후의 행위자는 1이라는 확률을 얻은 대신 관찰자는 1/32라는 답을 얻었잖음?


이런 차이는 각자의 정보량의 차이에서 기인함.
같은 현상을 겪고도, 정보에 따라서 확률 '추측'을 다르게 할 수 있고, 각자에게는 그것이 정답인 확률 추측임.
즉 어떤 상황이냐에 따라서 1도 맞고, 1/32도 맞는 현상이 발생하게 된 것임

그리고 이게 바로 2의 서두에서 썼던, '확률이 계속 달라지는데 결과론적으론 결과가 같은것이다'라는 주장이 옳다고 생각한 이유임.

추가로 나는 이게 우리가 익히 아는 '조건부 확률'의 개념과도 깊게 연관된다고 생각함. 절대적인 확률은 없다. 주어진 조건이 추가가 될수록, 확률은 달라진다. 정보의 차이일 뿐이다.















아무튼 위에 장황하게 두 가지 주제에 대한 얘기를 늘어놓긴 했는데, 결국 내가 말하고 싶은 것은 이것임.

0) 내가 하는 얘기에 수학적으로 말이 안 되는 부분이 있는가?

1) 우리가 학생때 접한 확률 학습과 문제들은 정말로 모두가 '올바른' 학습/문제였는가?

2) 나는 '시점' 혹은 '유동성'이라는 단어로 설명을 했는데, 혹시 이와 유사한 얘기를 하는 확률 도서 혹은 논문 등을 아는 사람이 있으면 소개 좀...




새벽에 잠도 안 오고, 갑자기 확률 관련 생각이 들기에 이번 기회에 내 생각들을 정리도 할 겸 글로 표현하고 싶었음

마지막으로 긴 글 읽어줘서 고맙다