x^x (x는 실수) 일때
얘를 실수부 허수부 나눠보라 할때
내가 직관적으로 생각하면 실수부는 그냥 x^x이고 허수부는 0일거같거든
지수법칙이라는게 원래 실수에서는 단일값으로 정의된거고 그걸 복소로 확장시키면서 exp의 주기성에 의해 값이 여러개가 생기는건데
복소수 위에서라도 실수^실수 꼴이면 실수값이 나오고 값이 하나만 나와야 할 거 같은데
왜 허수부가 생기고 값이 여러개가 생기는지 직관적으로 설명좀 해주라 ㅜㅜ
얘를 실수부 허수부 나눠보라 할때
내가 직관적으로 생각하면 실수부는 그냥 x^x이고 허수부는 0일거같거든
지수법칙이라는게 원래 실수에서는 단일값으로 정의된거고 그걸 복소로 확장시키면서 exp의 주기성에 의해 값이 여러개가 생기는건데
복소수 위에서라도 실수^실수 꼴이면 실수값이 나오고 값이 하나만 나와야 할 거 같은데
왜 허수부가 생기고 값이 여러개가 생기는지 직관적으로 설명좀 해주라 ㅜㅜ
예시를 들어줘야 뭐가 궁금한지 더 잘 알 듯.
(-1/2)^(-1/2)??
ㅇㅇ 이런거
정말 간단하게 말하면 네 직관이 틀렸기 때문인데. 밑이 양수가 아닌 실수일 때 지수셈을 정의했나 생각해봐.
(1)^1/3 = exp (2ikpi/3) 이고 여기서 k=1이라면 얘도 뭐 실근 안 나오지 않음? 얘는 밑이 양수인데도 저러자나
밑을 복소수로 확장했을 때부터 유리수 지수 정의 문제는 각오했어야지. 세제곱해서 1이 되는 복소수가 유일하다는 보장이 대체 어딨음?
예컨데 -1 = e^(2n+1)pi 의 짝수 제곱근은 실수가 될 수 없잖음ㄴ
윗답글 참고좀요