어제까지 선적분에 대한 공부를 했고
오늘은 곡면적분에 대한 공부를 했어요
곡면을 어떤 방식으로 정의하느냐에 따라서
적분 방법이 엄청나게 차이가 많더라구요
이쪽은 제가 가진 교재와 Apostol 교재가 큰 차이가 없어서
약간의 정리나 용어를 Apostol 교재를 통해 재진술 했구
연습문제는 Apostol 교재만 보는걸루 했습니다.
보통 함수하면 음함수 꼴로 표현하는데 이 때의 면적분은 다음과 같이 정의된다고 해요.
선적분과 비슷하게 면적분은 곡면에 작은 평행사변형을 접해갑으로써 구하네요.
직관적으로 이전 내용들이 비슷하게 연결됩니다.
그리고 물리학적 용어로써 Flux라는 개념을 도입하는데 이때 단위법선 벡터 n이 추가가 되네요
Flux는 선속이라고도 하고 유출이라고도 부르는거 같은데 뭔가 통일되지 않은 느낌이예요
단위법선방향을 향하면서 면을 통과하는 물리량 정도로 받아들이면 될 거 같네요.
이 값이 (양)/(시간x부피)와 비례해서 물리학책에서는 유출 '밀도'로 쓰기도 한다고 하네요.
밀도가 질량/부피닌깐 그런가봐요.
법방향은 n=n1이라 하면 n2=-n1은 n1과 평행하므로 n에는 양의방향 음의방향이
존재한다고 하네용.
그리고 이를 이용해서 평면에서의 곡면의 넓이역시 정의할 수 있네요.
순식간에 면적분의 3가지 형태가 지나갔어요.
그런데 보통 곡면이라 함은, 곡면이 매끄러울 때 직교좌표계보다는 매개변수화된 표현을 많이 쓰나봐요.
u, v로 매개변수화 된 표현에 대해서의 곡면 적분은
또 이렇게 정의하나봐요.
이때, wedge product는 곡면소의 변수를 함의하는 표현인 것 같아요.(잘 모르겠습니다)
Apostol에서는 벡터곱(외적)이라고 표현하기도 해서 함축적인 표현인 것 같아요.
기술은 어렵게 되어 있는데 막상 문제는 쉽게 풀려서
정리를 그대로 받아들이기 보다는 문제로 적용해보고 거꾸로 이해하는 전략을 택했습니다.
한편 그린정리에는 다음 두 가지 시각이 존재하는데
근본버전은 아래에 기술된 버전이예요.
그런데 divF와 curlF를 정의하고 그성질을 파악하면서
본격적인 다변수미적분학의 두 가지 특수한 형태를 소개해주네요
그 첫째가 stokes정리. 요약하면
곡면적분을 곡면을 둘러싸는 반시계 방향으로 회전하는 곡선을 통해
계산할 수도 있다는 내용이네요.
비슷한 관점에서
면을 통과하는 어떤 물리량은 면이 포함된 어떤 다양체의 부피적분을 도입하여 계산할 수 있다
라고 하네요. 개인 학부생 입장으로 해석해보면... 면적분이 졸라게 어려운가보다 라는 생각이 듭니다.
내용은 전부 정리했고
개념의 정의도 충분히 숙지했으며
예제도 충실히 정리했고
문제는 아직 면적분까지만 풀었습니다.
오늘 끝내자는 마음가짐으로 좀 달렸는데
그건 무리였네요
면적분 남은부분부터 발산정리까지의 연습문제는 내일 다시 도전해보는걸로 하겠습니다!
면적소, 선소를 제대로 파악하지 못해서 메차쿠차 엉망진창으로 당했던 1학년 시절을 돌이켜보니
왜 그리 못했는지 이해가 안될 정도로 직관적이고 단순한 정의였네요. (물론 계산이 단순하다는건
아닙니다만...) 미적분은 6일차가 마무리일 것 같네요~!
5일차 끝
꾸준추