[대학교이상] surjective linear map는 항상 open map임?

[익명(165.229)]

맞다면 증명은 어케함? math.stackexchange에서 관련 질문글 찾아봐도 이해가 안감ㅋㅋ

open mapping theorem이라고 있긴하던데 나는 아직 banach space를 배우지도 않았음 그냥 유클리드 공간상에서 정의된 linear map에 대해서만 저 결과를 얻고싶은데 가능할까

[김이요°(karma5)]

정의역을 제한하면 bijective map이 되잖음 open subset이 그 제한한 정의역의 부분위상에서 열린 집합이 되므로 bijective linear map은 homeomorphism이므로 이것의 상도 열린 집합임

[익명(165.229)]

ㄱㅅㄱㅅ

[익명(77.103)]

T_1이 R^n에서 R^m으로 가는 surjective한 선형변환이라 하자. 그렇다면 임의의 R^n 위의 open set U_1에 대해서 T_1(U_1)이 R^m 위의 open set을 포함한다는걸 증명하면 충분함. T_1이 surjective하므로 반대로 R^m에서 R^n으로 가는 injective한 선형변환 T_2가 존재해서 T_1T_2이 R^m에서 R^m으로 가는 identity map이 됨. T_2는 연속이므로 T_2^{-1}(U_1) = U_2는 R^m 위의 open set이고, T_1(U_1)은 T_1T_2(U_2) = U_2를 포함하므로 증명 끝.

[익명(165.229)]

T1이 surjective하면 적당한 injection T2가 존재하는건 진짜 처음듣는데 증명링크같은거 있어?

[익명(77.103)]

R^m의 basis w_1,... ,w_m에 대해서, T_1이 surjective하니까 각각의 i에 대해서 T_1(v_i) = w_i를 만족하는 v_i가 존재함. w_1,...,w_m이 linearly independent하다는 사실로부터 v_1,..,v_m 또한 그렇다는걸 얻을수 있음. 이제 T_2(w_i) = v_i를 만족하게끔 T_2를 잡아주면 됨.

[익명(77.103)]

첫번째 댓글도 엄밀히 따지면 비슷한 아이디어를 사용하는데, R^m의 basis w_1,..,w_m에 대해서, T_1이 surjective하니까 T_1(v_i) = w_i를 만족하는 linearly independent한 v_1,..,v_m을 잡아줄 수 있고, 그렇다면 T_1을 v_1,..,v_m의 span으로 정의역을 제한했을때 선형변환을 고려하면, 그 선형변환이 bijective하니까 homeomorphism이 된다는 것임.

[익명(165.229)]

이제 알겠다 ㅋㅋ 고마워~!!!