불철주야 수학 공부하시는 수잘갤러분들께 고생하신다는 말씀 먼저 올립니다.

해석학 공부를 하고 있는데 해설을 봐도 뭔가 좀 이해가 안되는 문제가 있어 질문을 올리게 되었습니다.


애벗 해석학 보고있습니다.

R의 부분집합 A에 대해 A의 closure은 A를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이라는 정리를 증명하는 문제입니다.

문제에서 A의 모든 limit point들의 집합 L이 닫힌 집합이라는 것을 먼저 보이라고 하는데 L이 닫힌 집합이 아닐 수도 있지 않나요?

이 책에서는 어떤 집합 A의 limit point x는 x의 모든 neighborhood V(x)에 대해서 A와의 교집합에 x가 아닌 다른 원소가 포함된다는 것이라고 정의 내리고 있습니다.

그렇다면 열린 구간 (0,1)의 경우 모든 limit point의 집합 L={0,1}입니다.------(1)

또한 이 책에서 닫힌 집합은 자기 자신의 limit point를 모두 포함하는 집합이라고 정의합니다.

그래서  (1)에 이어서 L이 닫힌 집합임을 보이기 위해서는 L에 limit point가 존재해야 하는데 L은 limit point를 안 가지지 않나요?


결국 제 질문은 실수집합 R의 유한 부분 집합에 대해서 limit point를 찾을 수 없는거 아닌가?라는 것입니다.