지금 측!도!론!ㅠㅠ 앞부분 공부하는 중인데 질문이 두가지 있어!
1-1. R^n 공간의 보통위상으로 생성된 보렐 시그마 알지브라의 원소가 안되는 (다시말해 보렐 셋이 아닌) 것은 어떤 예가 있을까?
일단 R에서 생각해보면 유리수도 countable이니 보렐셋이 될테고 그 여집합인 무리수도 보렐셋이 될 테고...
1-2. 일단 생각해본 것은 A를 실수 안에서 유리계수 방정식의 근들의 집합이라고 하면
(a,b)-A는 보렐셋이 될까? 이게 만약 보렐셋이 안된다면 보렐셋이 안되는 건 어떻게 보이면 좋을까?
2. 내가 위에서 말한 것이 맞다면 그거 말고도 R에서 보렐셋이 안되는 예, R^2에서 보렐셋이 안되는 예, R^n에서 보렐셋이 안되는 예는 어떤 것이 있을지 궁금해ㅜㅜ
알려주세요ㅠ
이렇게 두 개가 궁금한데 위 질문은 R^n 상의 보통위상위에서 이야기 하는 것이 맞아!
내가 측도론 걸음마 단계라서 부족한 것이 많아ㅜㅜ 도와주면 감사할게!
R에서의 borel set은 Lebesgue measurable인데 R의 유명한 non Lebesgue measurable set의 예시로 vitali set이 있음 검색 ㄱㄱ
님이 말한 A는 실수인 algebraic number들인데 algebraic number가 countable이라 borel set임
오! 감사해요ㅎㅎ 그럼 A를 빼는게 아니라 무리수의 절반정도만 빼면 borel set이 안되는거죠? uncountable만큼을 빼었어도 uncountable만큼 남았으니!
그리고 R의 borel set들의 집합을 B라 하면 R^n의 borel set들의 집합이 B^n이라 R에서 어케 생겼는지 알면 대충 감 올듯
절반정도 뺀다는게 먼소린질 잘 몰루겠름
저도 쓰고나니 이상하긴 하네요;; 여튼 감사해요!ㅎㅎ 그럼 vitali set 말고도 R상에서 보렐셋이 안되는 건 더 있는 거죠?
제가 정확힌 모르는데 얼핏 듣기론 준네게 많다고 들었음
오! 찾기 어려워보였는데 역시 수학의 세계는 깊고 신기하네요ㅋㅋ
R^n에서 borel set의 cardinality는 기껏해야 c개인데 P(R^n)=2^c개니깐 아닌게 훨씬 많음
댓글 고마워요! 그런데 R^n에서 borel set의 cardinality는 기껏해야 c개인 것은 어떻게 보일 수 있죠?ㅜ
R^n이 2nd countable임을 사용하면 증명 가능. Set theoretical한 argument도 들어가 있을 거고..
조금만 더 부연하면 Borel set을 어떻게 construction하는지 봐야 함. Wiki(1)를 보면 Open set을 시작으로 해서 first uncountable ordinal 전까지 union, intersection을 한 set들을 열심히 union함. R^n의 open set이 실수의 cardinality와 같고, 이걸 countable union 해 봤자 cardinality는 안 바뀔 거고
이걸 first uncountable ordinal 전까지 union해도 real number의 cardinality를 넘지 않는다는 것만 보이면 끝남. Set theoretic argument를 좀 많이 쓰면 됨... 이건 (2)를 한 번 보면 좋을 듯.(나도 방금 찾음.) 일반적으로 Polish space란 공간에 대해서 Borel set의 cardinality를 분류할 수 있는 거 같은데 이건 (1)에 있으니 보고.
(1)
https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_set
(2)
https://math.dartmouth.edu/archive/m103f08/public_html/borel-sets-soln.pdf
measure 쓰는데 borel set이 open set을 이용해서 정의되었다는 수준 정도만 중요하지 이게 얼마나 큰 집합이고, 이상한 집합인지 보는 거 같은 건 집합론의 영역이니 궁금하면 보고, 지금 이해 못 하겠다해도 ㄱㅊ
오! 댓글로 자세한 설명 너무너무 고마워요 한번 살펴볼게요
Borel set이 기껏해야 continuum만큼 있다는 걸 진짜진짜 대충 설명하면, Borel set은 유리수 좌표 중심에 유리수 반지름인 공을 셀 수 있는 만큼 합집합, 교집합, 여집합을 반복해서 얻어지니 대충 aleph0×3을 aleph0만큼 거듭제곱한 만큼 Borel set이 있다는 걸 알 수 있음
물론 이걸 정확히 쓰려면 윗댓처럼 set theory를 좀 써야 하고 생각보다는 귀찮음
댓글 고마워요! 그런데 왜 유리수 좌표, 유리수 반지름을 선택하는 걸까요? 실수로 하면 안되나요?
그건 크게 상관 없음. 실제로 continuum개의 원소로 generate되는 sigma-algebra도 원소가 2^c개임
Continuum개의 원소로 generate 되는 sigma-algebra의 원소의 개수는 continuum일 수 있음. R의 open set은 countable union of (a, b), a, b는 실수 이므로 이거 cardinal은 c이고, 이거로 만든 borel set의 cardinal도 c임.
아 그렇지 2^c가 아니라 c임 쓰다가 헷갈렸다 미안