[일반] 집합론 전단사함수의 합성함수관련 질문

[익명(211.238)]

A가 공집합이 아니고 f : A -> A가 전단사함수일때

임의의 x in A 에 대해서 f^n(x) = x 인 자연수 n이 존재함?

이거 집합론책에서도 어려운증명 아이디어로 쓰인거같은데 증명이 잘안되네..

[익명(220.70)]

n = 0

[익명(211.238)]

꼼수 ㄴㄴ

[ALTa(tladud123)]

|A| < infty 면 f는 어떤 symmetric gp S_k의 원소라서 f^n = id 가 되는 f의 order n이 존재함 (기초적인 대수 내용임) |A|가 무한이면 존재하지 않을 수도 있음 (예: f(x) = 2x, 그러면 f^n(x) = 2nx 이므로 f^n = id 이려면 n = 0 밖에 없음)

[ALTa(tladud123)]

물론 두번째 예시의 f:R -> R이고, n = 0은 제외한다는 가정 하에

[카푸치노(118.218)]

위에서 적어줬지만 집합론만 쓰면 부족하고, Ergodic theory를 쓰면 비슷한 결과까지 얻을 수 있음. 실해석 안다면 위키피디아 Poincare recurrence theorem 한 번 보셈. 다른 방향으로는 fixed point theorem들이 있는데 (예를 들면 Brouwer fixed point theorem) 이것도 공부하다보면 여러 개 만날거임.

[익명(175.215)]

A가 유한집합 일 때는 존재함.