Munkres 컴팩트집합 단원 11번 문제입니다
여기서 하우스도르프 조건은 어디서 필요한 건가요?
저는 힌트대로
1. 만약 Y가 separated되어 있다면 separation C, D가 존재하고,
2. subspace의 정의에 의해 U cap Y = C, V cap Y = D인 X의 열린집합 U, V가 존재한다.
3. 이제 (A - (U cup V))들은 컴팩트기 때문에(컴팩트공간의 닫힌집합은 컴팩트) 그 교집합은 비어있지 않지만, Y - (U cup V)는 비어있으므로 모순이다
이렇게 증명을 했는데, 하우스도르프 조건이 사용된 곳을 못찾겠습니다
왜 그런 open U V 가 존재하는데? A가 전부 interior 가 empty 인 집합들일수도 잇잔음
예를들어서 R^2 위에 (-delta,delta)x{0}
먼가 문제를 잘못이해한거같은데
아 잘못 적었네요 귀류법을 사용하려고 Y가 separated되어 있다고 가정했고, 그러면 NONEMPTY disjoint open C와 D가 존재한다는 말을 하고 싶었습니다 글 수정했습니다
A-UcupV 가 왜 empty 가 아닌데? 엠티일수도 잇잔음
예시하나 들어주자면 [-delta,delta]times{0}=A_delta 라고 두면 Y={0}times{0} 인데 U=B_1 이라고 잡으면 delta less than 1 일때 A_delta -U 는 empty 임
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맞네요 그래서 댓글 지웟엇습니다 그러면 하우스도르프랑 컴팩트 조건으로 U, V를 disjoint하게 잡고, (A cap U)와 (A cap V)가 separation이 된다는 식으로 보이면 될까요 (Y cap U와 Y cap V가 nonempty이므로)
ㅇㅇ