독학하는 사람들에게 조금이라도 도움이 되라고 적어봅니다.


1. 예상 독자는 고등학교 과정을 다 마친 시간이 아주 많은 사람들입니다

2. 수학을 독학하는 건 정말 쉽지 않습니다. 본인이 맞다고 생각하는 풀이도 자세히 보면 논리적인 오류가 있는 경우가 부지기수입니다. 자신의 풀이를 봐줄 수 있는 전공자가 있지 않는 한 독학을 추천하지 않습니다.

3. 수학은 원래 엄청나게 어려운 과목입니다. 아주 많은 시간을 투자해야 결실을 볼 수 있습니다. 또 아래의 추천글에는 연속된 두 개의 교재 사이에 큰 난이도 차이가 있는 경우가 많은데, (제가 느끼기에는) 원래 수학이 그런 과목입니다.

4. 목표는 학부 코어과목 + 대수위상 + 미분다양체론 입니다

5. 힙한거 찾으면 나중에 후회합니다... 어디서 이상한 책이랑 테크트리 보고와서 따라하지 마시고... 표준적인 테크와 교재를 따르세요. 표준인 이유가 있습니다.


Preliminaries

앞서 이야기했듯이, 고등학교 수준 미적분은 다 알고 있어야 합니다. 예전 수잘갤 개념글 중 고려대학교? 교수님께서
가게에서 거스름돈을 거슬러받아 본 적이 없는 사람에게 뺄셈을 가르칠 수 없는 것처럼, 논리적으로 의존하는 내용이 없더라도 미적분을 모르는 사람이 해석학을 배우기는 아주 힘들다고 이야기하셨던 걸 읽은 적이 있습니다. 그 뒤로도 마찬가지입니다. 


고등학교 수준 미적분이 기억이 나지 않으신다던가 다음 단계를 공부하던 중 기초가 탄탄하지 않다고 느끼시는 분은 대학교 미적분 교재를 공부해보시는 게 좋습니다. 제가 사용해본 적은 없지만, Apostol Calculus (Vol. 1, 2)이 수학적 사고력을 많이 길러 주고, 선형대수학 내용도 포함되어 있어 좋다고 들었습니다.
스탠다드한 교재는 Thomas와 Stewart입니다. 저는 Stewart를 통해 미적분을 배웠는데, 개인적으로는 마음에 들지 않았습니다.


Linear Algebra

선형대수학은 미적분을 공부한 사람이 처음으로 배우는 진짜 수학이라고 할 수 있습니다. 해석학과의 순서는 상관이 없고, 심지어 동시에 같이 진행하셔도 문제는 없지만, 제 지인들 중에 해석학보다 선형대수학이 더 쉽다고 느낀 사람들이 압도적으로 많습니다. 저도 그렇게 느꼈고요.


교재는 Friedberg(, Insel, Spence)를 씁니다. 다른 여러 가지 교재가 있지만, H/K나 선대군을 굳이 볼 필요는 없다고 생각합니다. 선형대수학에서 힘빼지 말고 빨리 다음 단계로 넘어가는 것이 낫지 않을까요? 또 번역 질이 좋은 번역본이 있는 것도 장점입니다. Strang, Anton 등의 교재도 있다고 하던데, 그래도 내적공간 내용이 포함된 책을 봅시다. 만약 정 Friedberg가 마음에 들지 않는다면, Sheldon Axler의 Linear Algebra Done Right 정도는 괜찮을 것 같습니다. (직접 본적은 없지만, 꽤 좋은 책이라고 들었습니다)


Analysis

이제부터는 많이 어렵습니다. 진짜로 수학이 빡세지기 시작하는 시점이 여기라고 생각합니다. Rudin의 Principles of Mathematical Analysis를 추천하는 고인물들이 많지만, 이 책은 사실 해석학을 복습하는 대학교 4학년을 타겟으로 쓴 책이고, 또 이 책으로 하는 수업을 듣는 것과 독학을 하는 것은 큰 차이가 있습니다. 하지만 적은 볼륨으로 이만한 내용을 커버하는 책도 없긴 합니다. 만약 수학에 자신이 있다면 부딪혀보는 것도 나쁘지 않다고 생각합니다. 단 9장부터는 보지 마세요. 다른 책이 낫습니다.

대신 저는 Wade와 Abbott을 추천드립니다. Wade는 립젠에서 답안지를 구할 수 있습니다. 진짜로 독학을 하려면 자신의 풀이와 답안지를 비교해 보고, 답안지에서 내 풀이보다 어렵게 풀었다는 느낌이 들면 왜 그렇게 풀었는지, 내 풀이에 논리적 구멍이 없는지를 생각해 볼 필요가 있습니다. 


Abbott는 구판 답안지를 구할 수 있고, 번역본이 존재하며(번역 상태도 양호합니다) 설명이 정말 친절한 책입니다. 저는 개인적으로 (레퍼런스용으로 PMA pdf파일 정도와 함께) 이 선택지를 가장 추천합니다.


Topology

아마 여기까지 도달한 사람이 있다면, 이미 해석학에서 위상수학의 불맛을 조금이나마 느끼고 왔을 것이라고 생각합니다. 아주 추상적인 대상을 다루는 것이다 보니 익숙해지기 전까지는 정말 짜증나는 과목입니다. 


가장 대표적인 책은 Munkres입니다. 개인적으로는 마음에 들지 않는 책이지만 다른 마땅한 선택지가 없습니다. 책이 두 파트로 나뉘어져 있는데, 섹션 48까지 보시면 Point-Set Topology가 커버가 됩니다. 이 과목도 해석학처럼 풀이에 논리적 구멍이 없는지를 많이 생각할 필요가 있습니다. 


제대로 본 적은 없지만, Dugundji가 설명이 잘 되어 있다는 느낌을 받았습니다. 어차피 진짜로 책을 구할 수는 없을 테니(1978년에 절판된 책입니다) pdf 파일을 구해서 막히는 부분이 있을 때 한번씩 찾아보면 도움이 됩니다.



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