유리계수n차방정식이
p+q루트(m)
(p,q는 유리수, 루트(m)은 무리수)
를 근으로 가지면
p-q루트(m)도 근으로 가진다
이거왜그런건가요?
2차방정식의 인수분해꼴되는걸 이용해야되는거같은데.
저게 조건이 교묘한게...
ax²+bx+c=0에서 a,b는 유리수 c는 무리수라고 하면,
x=-b/2a +- 루트(b²-4ac)/2a가 근인데
루트(b²-4ac)가 무리수라고 하면
유리수 p q 무라수 루트m이 존재해
p+q루트m이 근이고 p-q루트m이 근임은 맞지만,
p+q루트m = r+s루트n (r s는 유리수 루트n은 무리수)
인 r s 루트n에 대하여
r-s루트n도 근임을 보장하진못하더라고요
(이차방정식 x²-x-3-루트3=0의 근은 1+루트3,-루트3임)
결국 유리계수인게 매우중요하단건데
2차식 3차식일땐 일일이넣어보며 아이래서안되는군.할수있지만
"n차"로 가니까 이걸 넣으면서할수가없더라고요
근계수관계를이용하려해도 곱하는게 우후죽순돼버려서
꼭 p+q루트m을 유리수로없애려고 p-q루트m이
와야됨을 증명하긴 힘든거같아서.
p+q루트m + 다른 무리수a=유리수인 경우가잇을수도있으니
그런경우에 유리계수가안된다를 증명하기가너무힘들어요
어떻게증명해야할까요?
- dc official App
f(p+q루트m)=p-q루트m으로 정의되는 함수 f가 p+q루트m 꼴들의 수들의 집합에서 잘 정의되고, f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b)이고, a가 유리수이면 f(a)=a임을 확인하면 됨
죄송합니다.. - dc App
뭉탱이로있다가 유리게슝
x가 p+q*sqrt(m) 꼴의 수일때 이에 대한 켤레를 c(x)라 하면 anx^n+…+a1x+a0 = 0 일 때 c(anx^n+…+a0)=an(c(x))^n+…+a0 임을 보이면 됨
어떻게 보이냐면 위 첫번째 댓글이 말한 것 같이 c가 곱셈과 덧셈을 보존한다는 것만 보이면 됨
아 켤레복소수의성질이 켤레무리수?에도 그대로통용됨을 보이면 n차 실계수가 켤레복소수를 가짐의증명과 동일하게간다는거죠? - dc App
ㅇㅇ 켤레복소수 증명할때 쓰이는 켤레의 성질이 복소수를 고정한다는 것과 사칙연산을 보존한다는 것 뿐이니까 마찬가지로 해당 문제도 켤레가 유리수를 고정하고 사칙연산을 보존한다는 것만 있으면 되지
켤레복소는 증명햇엇는데 켤레무리는 좀 다른줄 알고 다르게 해보려햇던게 흠이엇네요 ㅠ - dc App
어 근데 곱셈에서 보존이되려면 p+q루트m에서 m도 유리수여야 되는거같은데요?.. (p1+q1루트m)(p2+q2루트m)의 켤레를 보티는과정에서 q1q2m이 무리수일수가잇어서.. 그냥 루트m이 무리수란조건으론 할수없나요? - dc App
루트(루트(3))같은 경우에, (켤레 (루트(루트(3)))^2 과 켤레((루트(루트(3))^2)이 달라져버려요 ㅠ - dc App
저방법으로는, 모든 루트(실수)로 표현되는 무리수에대해서는 보일수없는걸까요? - dc App
그 경우에는 그 근에 맞는 automorphism으로 접근해야함 켤레는 automotphism 중 order가 2인 특수한 경우임
예를 들어 order 가 짝수 2n인 automorphism을 갖는 근은 그 automorphism을 f라 했을때 f^n 이 order가 2이므로 유리수 켤레에 해당되겠지
아그러면 고등과정으로는 힘든건가요?? - dc App
일반적인 경우에 대해서 켤레를 애초에 어떻게 정의해야 되는지 생각해봐 x^4-10x^2+1=0 의 해는 sqrt(2)+sqrt(3) 인데 이거의 켤레를 뭐로 하게? -sqrt(2)+sqrt(3), sqrt(2)-sqrt(3), -sqrt(2)-sqrt(3) 모두 해인데
음 근데 일단 증명하려는게 유리수 p q 무리수 루트m에 대해 p+q루트m이 근임을 가정했을때얘기라서 저거에대한이슈는 상관없지않을까요?.. - dc App
아니 m이 여러 무리수의 합이면 문제가 되지
너가 예시로 든 3^(1/4)는 켤레를 3^(1/4)의 부호만 뒤집는걸로 정의해야함 3^(1/2)는 고정시키고 그러면 똑같은 방식으로 증명되는걸 볼 수 있어
m이여러무리수의합이어도 켤레는 p-q루트(m)으로 정의할수잇지않나요? - dc App
그러면 모든 case에대해그걸 어떻게다따로정의를해줄수있는건가요? - dc App
내가 말하는 켤레는 함수를 말하는거임 증명에서 c(x^n) 이 나오는데 x^n에는 예를 들어 m=Sqrt(3)일 때 sqrt(3)을 포함할 수 있잖음 그럼 sqrt(3)의 부호는 뒤집는게 아니라 그냥 냅둬야 하는거야 너가 한대로 하는게 아니라
m으로가능한무리수의 케이스가너무많은데 이걸 어떻게다정할수잇을까가궁금해져서요 - dc App
다 정하는게 아니고 함수(정확히는 automorphism) c 중에 c(p+q*sqrt(m))=p-q*sqrt(m) 을 만족하는게 있다는걸 수학적으로 증명하면 되는거임
함수는 대응이니까 원한다면 얼마든지 임의로그런함수가 있다고 정의해주면 되지않나요? 혹시 잘 정의되지않는 경우가 생길수잇어서그런게없다만보이면되는건지 - dc App
아니 얼마든지 그런 함수가 있지 않음 Automorphism은 사칙연산을 보존하는 함수임 예를 들어 Q(sqrt(2)) 위에서 사칙연산을 보존하는 함수가 몇 개 있는지 생각해봐
너무 어렵네요 ㅠ 대학과정을 알지를못해서.. - dc App
ㅇㅇ/ 위에 그렇게 정의 안됨. 예를들면 m=3+2sqrt2=(1+sqrt2)^2 이라 해보면 안되는걸 알 수 있음
그래서 a+b sqrt m이 근일때 a-b sqrt m이 근이다 얘기할땐 m이 유리수고 sqrt m이 무리수인 경우 한정해놓고 말해야함. 일반적인 경우의 켤레수는 더 복잡하게 따져야하고.
m도무리수 루트m도무리수인 경우에는 어떻게하나요? - dc App
https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=math&no=33568&page=1
지금 쓴 걸 볼진 모르겠는데 간단히 증명하자면 어차피 계수가 전부 유리수라면 유리수로 나눠도 계수가 유리수임 고로 fn(x)=x^n+an*x^(n-1)+...+a2x+a1으로 나타낼 수 있고 fn(p+q)=0이면 fn(p-q)=0임을 보이면 됨 (단, p는 유리수, q는 제곱근인 무리수) 일반적으로 유리수와 무리수의 합,차는 더 간단히 정리할 수 없음이 알려져 있음 즉 항등식 컨셉으로 접근할 수 있다는 건데 (p+q)^n+an*(p+q)^(n-1)+...+a2(p+q)+a1=0이고 이를 간단히 정리한다면 유리수 부분은 p의 거듭제곱과, q의 짝수제곱을 포함하는 항(ex: pq^2, 5p^3*q^4 등)들로, 무리수 부분은 q의 홀수제곱이 포함된 항(ex: q, 3pq^7 등)으로 나타낼 수 있을 것임
그리고 q의 짝수제곱은 부호가 유지되고 q의 홀수제곱은 부호가 바뀌는데 fn(p+q)=0일 때, fn(p-q)의 유리수 부분은 p와, q의 짝수 제곱을 이용해 표현할 수 있는데, 부호가 유지되니 여전히 0임은 당연함 그러면 무리수 부분이 0이라는 것만 보이면 됨 그런데 무리수 부분은 q의 홀수제곱을 이용해서 나타내므로 사실상 0을 -0으로 바꾼 것과 다름없음 따라서 유리수 부분, 무리수 부분이 전부 0이니 성립한다는 걸 알 수 있음