[일반] pi+e, pi*e 초월수 관련 질문있습니다

[익명(223.62)]

나무위키 보다가 흘러들어갔는데

pi+e, pi*e가 둘다 초월수일수는 없다는걸 설명할때

(x-pi)(x-e)가 x^2-(pi+e)x+pi*e로 전개되고 pi랑 e는 둘다 초월수pi+e, pi*e가 둘다 대수적인 수면 모순이라고 하더라고요

근데 초월수 정의는 정수계수의 다항식의 근이 될수없는 수라고 하던데 저 방법은 pi+e, pi*e가 둘다 유리수가 될수없다는것 까지만 보이는게 아닌가요?

[ALTa(tladud123)]

pi+e, pi*e가 둘 다 (Q위에서) 대수적인 수이면 x^2 - (pi+e)x + pi*e 는 대수적으로 닫힌 체 var(Q) 위의 다항식이므로 이 다항식의 근 역시 대수적인 수가 됨 근데 pi랑 e는 초월수이므로 모순 적어도 둘 중에 하나는 초월수 <- 이 얘기임

[익명(125.128)]

계수가 대수적인 수인 방정식은 항상 어떤 유리계수 다항식의 약수여서 계수가 대수적인 수인 방정식의 근은 대수적이에요