[일반] 완비성공리를 1계논리 집합론의 언어로 표현할 수 있음?

[익명(110.70)]

완비성공리가 뭔가 2계논리적으로 표현된거 같다는
막연한 생각이 드는데 가능하냐

[익명(218.38)]

언어 (+, ×, ≤) 를 가지고선 못 나타낸다는 증명 수리논리 공부하면서 봣던거 같은데 까먹음. 근데 ZFC의 언어 (∈) 로는 나타낼수 있을걸

[익명(110.70)]

진짜 신기하긴 하네 ㅋㅋ 고마운데 질문 몇개좀 더 받아줘어 1. 완비성공리를 ZFC의 언어로 어떻게 나타내는지(그게 아니라도 어디서 찾아 볼 수있을지) 2. 사실 1계논리 ZFC가 다른 분야(해석학, 대수학, 위상수학 등등)의 명제를 어떻게 증명한다는 건지 이해가 안갔었는데 저런식?으로 증명된다고 보면됨? 난 수리논리 해본적이 없고 그냥 맥락만 잡으려그럼

[익명(175.223)]

저런식을 좀 구체적으로 적으면 언어를 1계논리 집합론적 언어로 변환?하고 명제도 언어에 맞게 변환?해서 ZFC에서 증명한다는 얘긴데 이게 맞을까?

[익명(218.38)]

1. "(R,≤)가 최소 상계 성질을 가진다" 라는 문장은 ∀A ((∃x (x∈A) ∧ ∀x (x∈A → x∈R) ∧ ∃z (z∈R ∧ ∀x (x∈A → x≤z)) → ∃y (y∈R ∧ ∀x (x∈A → x≤y) ∧ ∀z (z∈R ∧ ∀x (x∈A → x≤z) → y≤z)) 이런 식으로 형식화하면 될 듯. 물론 위 식에 ≤ 가 있으니 위 식도 완전히 형식화된 건 아님. x≤y 를 (x,y)∈≤ 로 한 단계 풀어서 쓴 다음, 순서쌍 (x,y)도 {{x,y},y} 니까 이것이 반영되게 한 단계 더 풀어서 써야 완전한 형식화가 될 거임

[익명(218.38)]

2. 연구 좀 해본 수학자들도 아마 그냥 '어떻게든 형식화가 잘 되겠지' 라는 마인드를 갖고서 수학의 기초에 대해 크게 신경 안 쓸 거임. 누군가 수학의 언어와 공리계가 뭐냐고 물어보면 그냥 무지성으로 언어는 (∈), 공리계는 ZFC 라고 답하면 될 듯. 군론의 언어도 (·) 이라고 생각할 수 있겠지만 이거 하나로는 아마 부분군, homomorphism 같은걸 못 다룰 거라 군론도 사실 ZFC를 기초로 잡아야 할 거임. 물론 ZFC 말고 다른 기초도 있겠지만 수리논리 깊게 파야 하는 분야가 아닌 이상 그냥 모든 기초는 ZFC 라고 생각해도 될 듯

[ultraproduct(ultraproduct)]

순서를 나타내는 이항관계 기호만 넣어 놓으면 못 함. (Q, 작거나 같음)과 (R, 작거나 같음)은 elementarily equivalent(각 모델에서 성립하는 1차 논리의 문장이 모두 같음)이지만 하나는 order-complete하지 않고, 하나는 성립하지.

[ultraproduct(ultraproduct)]

Second order logic으로는 표현가능함. 관계에 대하여, 그리고 함수에 대하여 quantification이 허용되니까.

[ultraproduct(ultraproduct)]

그리고 ZF, ZFC에서는 ∈ 기호 하나만 쓰고, 다른 관계나 함수는 전부 직접 정의해서 쓰는 거임. 실수의 대소 관계도 굳이 엄밀하게 하면 R의 construction부터 시작해서 ∈, =, 양화사와 연결사, 변수, (, ) 만 쓴 식으로 나타낼 수는 있겠으나... 해석개론 배우는 데 그걸 하고 있는 건 해석개론의 목적을 벗어난 거라.

[ultraproduct(ultraproduct)]

적어놓고 보니 엄밀하다는 표현 보다는 깐깐하다는 표현이 잘 맞는 것 같군