[대학교이상] P(N)~R 이렇게 증명하면 되나요?

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

이렇게 해도 문제가 없나요? 답지가 없어서..

[ultraproduct(ultraproduct)]

n1=11이면 어쩌려고?

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

아 그러네요

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

그러면 0.(n1)0(n2)0(n3).. 이런식으로 구성하면 문제가 없을까요?

[ultraproduct(ultraproduct)]

Injective가 아닐 텐데. 0.11012013...은 {11012,13014,...}에서의 함숫값이야, 아니면 {11,12,13,...}의 함숫값이야? Naive하게 함수가 injective라고 넘어가지 말고 정말로 injective인지 보이려고 해봐야지.

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

그러네요 자세하게 알려주셔서 감사합니다.

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

아 그럼 N = {n1, n2, n3}에 대해 k가 N의 원소이면 bk = 1, k가 N의 원소가 아니면 bk = 0으로 해서

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

0.(b1)(b2)(b3)...으로 하면 문제가 없을까요?

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

N = {n1, n2, n3, ...}이요

[ultraproduct(ultraproduct)]

네가 한 번 (네가 잡은) 그 함수가 injective라는 증명을 보여봐. 그 증명이 맞는지 봐 줄게.

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

넵 감사합니다

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

함수 f:P(N) -> (0,1)을 f(N) = 0.b1b2b3...(k가 N의 원소이면 bk =1, 아니면 bk = 0)으로 정의하자. 이때 f(N) = f(K)이면 N = K를 보이면 된다. f(N) = f(K) = 0.b1b2b3...라 하자. k가 K의 원소이면 bk = 1이므로, k는 N의 원소이다. 즉 K는 N의 부분집합이다. 마찬가지 방법으로 N이 K의 부분집합임을 보일 수 있다. 즉 N = K이다. 뭔가 같은말을 풀어쓴 것 같은데.. 이렇게 하면 되나요?

[ultraproduct(ultraproduct)]

큰 틀은 좋아. 조금씩 살펴보자. 우선 표기상으로, N을 이미 자연수 집합을 가리키는 데 쓰고 있는 중에 'f(N)을 다음과 같이 정의...'라고 하면 헷갈리겠지? N 말고 다른 문자를 쓰는 걸 권장함. 그리고 A가 P(N)의 원소일 때 함숫값 f(A)가 (0,1)에 들어가는 게 맞나? A가 공집합이면? A=N이면?

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

아 그럼 [0, 1] ~ (0, 1) 까지 이용해야겠네요

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

아니네요 [0, 1)만 써도 되겠네요

[ultraproduct(ultraproduct)]

나머지는 좋아. 그렇게 1-1 함수임을 보인 것. 지금 윗 댓글에선 보이지 않는 문제지만, (0,1)에서 P(N)으로 가는 1-1 함수를 잡을 때 십진법전개를 사용했는데, 이럴 때는 잘 정의되었는지 여부를 생각해 줘야 함. 왜냐하면 0.09999...=0.10000...이니까.

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

넵 진짜 친절하게 설명해주셔서 감사합니다! 책에서 [0, 1)~(0, 1) 같은거 그냥 있는 줄 알았더니 이럴때 다 써먹는게 신기하네요..

[익명(14.36)]

심지어 두 번째는 함수도 아님.

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

0.(n1)0(n2)0(n3)... 이요? 혹시 공집합때문에 그런가요? - dc App

[익명(14.36)]

순환소수 생각해보셈

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

아 0.5랑 0.499999...랑 값이 같아야겠네요 - dc App

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

그거랑 0.5랑 0.05랑 함숫값이 같아서 단사도 아니네요 - dc App

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

(0, 1)사이 실수 r에 대해 r이 유리수면 {2^(분자), 3^(분모)}, 무리수면 {r1, r2*10, r3*100, ...} 이렇게 하면 될까요? - dc App

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

물론 분자분모는 기약분수로 나타냈을때요 - dc App

[익명(14.36)]

님 걍 R -> P(N) 단사 보일 때는 Dedekind cut 이용하는 게 제일 깔끔. 안 그럼 순환소수 고려해야 돼서 승질남. 물론 반대 방향도 순환소수 나오긴 함 ㅋ

[익명(14.36)]

다만 해석학 명제 증명에 능숙해야 되고 A4 한 장 이상 나올 듯 ㅋㅋ

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

데데킨트 컷은 저 뒤에 나오더라고요. 나중에 다시 해봐야겠네요 - dc App

[익명(14.36)]

영어 되면 구글에 reals the power set of natural numbers 검색해보셈.

[쑤알라쑤알라(arduinocc04)]

넵 - dc App

[익명(14.36)]

직접 해보니깐...

[익명(14.36)]

순환소수 문제 해결하는 게 쉬운 일이 아니네요. 훔... 보통 책에서 이거 단사라고 제시하긴 하는데 단사 정의에 따라 구체적 증명은 안 하는 경우가 많거든요.