뇌피셜로 저런 댓글을 썼는데
다시보니 틀린거 같아서 수정하려함
수직선에 완비성공리가 적용된다고 받아들이면 실수랑 동일시할 수 있음
근데 이걸 받아들이는건 실수열이 실수로 수렴함을 받아들이는게 아니라 수직선 상에 말 그대로 '구멍들이 뚫려있다'를 부정하는 거에 가까움
완비성공리를 받아들이지 않으면 기존 R에 무한소와 무한대를 포함하는 hyperreal field라는걸 만들 수 있음
이걸 R*라고 표기하면 R*은 R사이사이에 빈틈이 있는 구조인데 예를 들어 R*의 어떤 원소 a가 존재해서 0보다 크고 임의의 양의 실수보다 작음
이런 원소를 infinitesimal이라고 하는데 이런 원소의 존재성은 완비성공리에 위배됨
증명은 0과 임의의 양의 실수 사이에 있는 무한소들의 집합을 생각하고 귀류법을 적용하면 됨
이런 R*는 엡실론 델타 논법이 등장하기 전까진 널리 받아들여졌고, 수학적으로 엄밀하고 유일하게 정의될 수 있으니 실수를 대신해 수직선을 나타내는 좋은 방법 중 하나인듯~
네가 말하는 수직선이 field라는 보장이 없으면 완비성공리로도 부족함.
그리고 hyperreal field의 엄밀한 등장은 20세기에 일어났고, 당연히 ε-δ 논법 이후에 등장했으며, ZFC위에서 R*의 (순서체로서의) uniqueness up to isomorphism 여부는 Continuum Hypothesis와 동치임. (결정 불가능이라는 뜻)
무한소 개념이 엡델보다 먼저 등장해서 엄밀하지 못한 방식으로 사용되고 있었다고 말하려고 했는데 그냥 R*로 줄여버렸음
뉴턴과 라이프니츠가 무한소 사용해서 미적분 설명하고, 버클리가 신랄하게 까던 그 시절에는 R*는 모습도 안 보이고 무한소 개념만 사용했음. Field를 형성하고 이런 얘기는 하지도 않았으니까. 그런 미지의 무한소 개념이 아주 틀린 건 아니었다고 보이기 위해 나~중에 20세기에 아브라함 로빈슨이 엄밀하게 토대를 다진 거고.