[일반] 프리드버그 무한차원 벡터공간의 기저 질문

[익명(121.155)]

EXERCISE 1.7의 5번 문항입니다.

솔루션에서 임의의 v e V 를 선택하고 이를 u_1, u_2, … , u_r 의 일차결합으로 표현했는데

기저가 가산집합인지도 모르고, v가 유한개의 벡터로 표현할 수 있다는 보장이 되나요?

도와주십쇼..

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[익명(121.155)]

주어진 벡터공간 V가 무한차원인데 u_i 로 첨수를 붙여도 되는 건가요?

[익명(121.155)]

그렇다면 기저가 비가산인 경우에는 어떻게 생각하나요?

[익명(121.155)]

감사합니다 완전 사이다

[익명(223.38)]

선대면 유한차원 벡터공간 가정하에 전개되는거 아닌가? 무한차원 벡터공간은 함수해석 일텐데

[AKIRAx(chrislee93)]

기저의 정의 자체가 유한합으로 모든걸 표현할수 있다는걸 가정한거야

[익명(121.155)]

덕분에 오개념 잡아갑니다ㅎㅎ 감사해요

[익명(223.39)]

유한합은 이진합의 반복으로 표현되는데 무한합은 불가능하지. 부분순서나 위상 등의 추가적인 구조를 덧붙여줘야 함.

[익명(223.39)]

그래서 무한차원 벡터공간의 기저는 거의 비구성적이고 (선택공리로 존재성만 보일 수 있음), 함수해석 같은 거 하려면 하우스도르프 공간, 바나흐 공간 등을 도입해서 기저를 재정의함.

[익명(121.155)]

으 어렵네요ㅜㅜ

[익명(223.39)]

가장 단순하게 F^N만 보더라도, 유한차원 벡터공간과 달리 기저를 쉽게 나열할 수 없음. 벡터공간에서 벡터에 쓸 수 있는 건 이항 스칼라곱, 이항 덧셈, 항등원 뿐이니까.

[익명(223.39)]

F는 base field, N은 자연수