[일반] 갑자기 궁금한건데 f(x+1) - f(x) = d 인 형태

[익명(112.165)]

1. f : Z->Z 일때 f(x+1) - f(x) = d (d는 정수) 이면 f(x) = mx + n의 형태가 유일한가?

2. f : R->R 일때 f(x+1) - f(x) = r (r은 실수) 이면 f(x)의 형태는?

이거 분명 많이 물어봤을 거 같은 질문들인데 검색해도 안 나오네요,,

[익명(175.223)]

1은 귀납법으로 확인되고 2는 g(x) = f(x) - rx 라하면 g(x+1) = g(x) 이니까 해는 주기가 1인 함수고 모든 f는 '주기함수 + rx' 꼴이겠지

[익명(134.121)]

귀납법으로 유일성을 어케 증명?

[카카오(73.146)]

2번도 비슷한 결론을 내리려면 연속성이 필요했던거로 기억해요

[Rafle(probaroque)]

그건 다른 문제 아닐까여?

[익명(118.218)]

이 문제 아닌가.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation

[카카오(73.146)]

제가 댓글을 너무 대충 썼네요, 일차식 형태로 나오려면 최소한 연속성이 필요하다는걸 말하려 했어요. 물론 연속이 주어져도 윗댓처럼 결과적으로는 연속인 주기함수 + rx 인 형태가 가장 일반적일거 같아요.