1.
당신은 게임 쇼에 참가해서 문 3재 중 하나를 골라야 한다. 하나는 스포츠카, 나머지는 염소.
당신은 1번 문을 골랐다. 갑자기 방청객에서 '문 뒤에 어떤 것이 모르는' 관객이 튀어나와 3번 문을 열었다. 3번 뒤에는 염소가 있었다.
사회자는 무대난입 소란에 대한 사과의 의미로, 2번 문으로 바꿀 기회를 주었다.
당신은 바꾸겠는가?
2.
같은 게임 쇼에 3명이 참가했다. 각각 하나의 문을 순서대로 고른다.
당신이 먼저 1번을 골랐고, 나머지 두 사람이 각각 2, 3번을 골랐다.
'정답(스포츠카)을 아는 사회자'가 3번 무을 먼저 열었고, 염소가 있었다.
3번 문을 선택한 참가자가 탈락하고, 2명의 참가자에게 사회자는 서로 합의가 있을 시 바꿀 기회를 준다고 한다.
당신은 2번을 고른 참가자에게 문을 바꾸자고 할 것인가?
3.
어떤 학교의 시험은 20문항 3지선다로 진행되는데, 재미있는 것은 각 문제의 보기 3개 중 하나는 '반드시 오답인 것을 쉽게 알 수 있게' 낸다.
그렇다면, A와 B는 다음과 같은 주장을 펼친다.
A : 반드시 오답인 보기를 먼저 제외하면, 2지선다 문제가 되므로 점수 기댓값은 50점이다.
B : 오답 보기를 제외하기 전에 먼저 무작위로 찍어서 푼 다음, 오답인 보기를 제외해보자.
내가 찍어서 선택한 문항들이 정말 오답이었다면, 다시 나머지 두 개 보기들 중 하나를 선택한다. - (1)
그런데 찍어서 선택한 문항들이 오답이 아니었다면, 최초 찍었던 보기를 오답이 아닌 다른 보기로 바꾼다. - (2)
(1)의 경우는 확률이 반반이지만, (2)의 경우는 몬티홀 문제에 따르면 확률이 2/3이므로
이런 추측 방식은 점수 기댓값이 50점보다 높다.
과연 B의 추측은 합당한가?
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일단 1의 경우는 조건부 확률로 생각하면, 어쨌든 염소가 드러난 상황이므로
바꾸는게 유리한 거 같음.
2의 경우는 1,2번 참가자 각각 바꾸는게 유리하다고 생각할 수 있는데 이게 되게 이상하게 느껴짐
바꿔도 똑같은게 아닌가 싶은?
(그래서 이게 제일 헷갈림)
3은 그냥 몬티홀 문제를 말만 바꾼거 같아서
바꾸는게 유리한 거 같음.
과연 어케 풀어야할까요
1번 문제는 3번 문이 열린 상태에서 [2번 문을 열였을때]의 당첨확률이 올라간 것이므로 바꾸는 것이 무조건 유리합니다.
문 뒤에 어떤 것이 있는지 알든 모르든 중요한건 관객이 염소가 들어있는 문을 열었다는 거고, 일반 몬티홀 문제와 다름없는거죠.
관객이 무조건 3번 문을 연다고 했을때 분명히 일반 몬티홀 문제와 차이가 생깁니다. 말하자면 3번에 당첨이 위치하는 경우가 배제돼버려서 1,2 문이 대칭적이게 돼요
2번 문제는 한 사람만 게임을 하는게 아닌 두 사람이 게임을 하고 있기 때문에, '게임 이론'과 상황이 비슷하네요. 문제에서 1번 문을 고른 당신을 a라고 하고 2번 문을 고른 사람을 b라고 하면, a와 b는 대등한 관계에 처해 있기 때문에 당첨 확률은 각각 1/2입니다. 따라서 문을 바꾸든 바꾸지 않든 당첨 확률은 1/2 그대로입니다. 즉 앞선 몬티홀 문제와는 다르게 자신의 선택을 유지하는 것이 손해가 아닌 셈이지요.
3번 문제에서 B의 추측은 틀리다고 말할 수 있습니다. (1)의 경우는 선택한 문항이 오답일 확률(1/3)에다가 남은 두 문제 중 한 문제를 찍어 맞힐 확률(1/2)을 곱한 1/6이 정답을 맞힐 확률이 되는 것이고, (2)의 경우는 2/3 (선택한 문항이 오답이 아닐 확률) x 1/2(두 선택지 중 찍맞할 확률)=1/3이 되는 것이죠. 각각의 경우는 배반사건이므로 1/6+1/3=1/2. 즉 점수 기댓값은 정확히 50점이 되는 것이고, B의 추측이 틀리다고 말할 수 있습니다.
몬티홀변형 문제 오랜만에 보네 내가 1번문제 인터넷에서 3번정도 봤는데 바꾸지 않는다는 의견이 우세했었음 난 바꾸는게 유리하다고 봐서 계속 이해가 안갔긴 했는데 암튼 그러더라 1번 바꾸는게 유리 2번도 내가 반드시 살아남는다는 보장이 있으므로 통계적 확률 생각해보면 바꾸는게 유리하다고 생각함 3번은 위에 애가 설명 잘 해줬네 - dc App
아니네 내가 살아남는다는 보장이 없네 그럼 바꾸나 안바꾸나 똑같음 - dc App
사회자의 행동 양식을 어떻게 정의하는가에 따라 확률이 달라짐. 기존 몬티홀 문제에서는 사회자가 A) 정답을 알고 있고, B) 의도적으로 참가자가 선택하지 않은 염소가 있는 문을 보여줌. 이때, 스포츠카를 선택했을 때 해당 상황이 발생할 확률 Ps = 1/3 * 1, 염소를 선택했을 때 해당 상황이 발생할 확률 Pg = 2/3 * 1 이 다름. 1,2,3은 이중 해당하지 않는 게 있어서 모두 같음. 1번은 A에 해당되지 않음. 관객은 참가자가 열지 않은 문을 무작위로 열게되니, Ps = ( 1/3 * 1 ) , Pg = ( 2/3 * 1/2 ) 이 같음. 같은 방식으로 2번은 사회자가 참가자가 선택한 염소의 문을 열 수 있어서 B에 해당되지 않고, 계산하면 Ps = Pg 임. 3번도 2번이랑 똑같음.
모사건 이미지 주욱 나열해보니까 이 댓글이 맞는 거 같다
1,2,3 답 모두 1/3임??