유클리드 공간 R^2에서 {(x,sin(1/x))|x>0}의 closure를 찾고 싶은데 직관적으로 {(x,sin(1/x))|x>0}U({0}×[-1,1]) 인 거는 알겠음.
그리고 {(x,sin(1/x))|x>0}U({0}×[-1,1])이게 closure의 부분집합인 것까지는 보였음.
근데 저것들을 제외한 나머지가 closure 안에 안 들어간다는 걸 보이고 싶은데 어떻게 보여야 할까.
그리고 {(x,sin(1/x))|x>0}U({0}×[-1,1])이게 closure의 부분집합인 것까지는 보였음.
근데 저것들을 제외한 나머지가 closure 안에 안 들어간다는 걸 보이고 싶은데 어떻게 보여야 할까.
네가 구체적으로 묘사한 저 집합이 R^2에서 closed임을 보여봐.
그래서 저 집합의 여집합이 open인 걸 보이려고 각 점에 대해 open ball을 잡으려 해봤는데 ball의 반지름을 구체적으로 어떻게 잡아야 할 지 모르겠음
"주름 사이 낀 먼지"처럼 생각하면 됨.
여집합의 임의의 점 (a,b)에 대하여 (a,b)와 저 집합의 점 사이 거리의 inf로 잡고싶지. 근데 그렇게 잡으려면 그 inf가 0보다 크다는 걸 밝혀야 하는데..
inf가 0이라는 것과 closure에 들어간다는 게 애초에 동치잖아. 자명하게 그렇게 잡을 수 있다고 넘어가는 건 그냥 순환하는 거 같아서
기존 집합을 포함하면서 closure의 부분집합임을 보였다는거에서 이미 증명 끝났다 생각하는데스웅
아님 closed인걸 증명하고싶은건가?
바깥으로 수렴하는 수열이 없다로 증명하는게 빠를거같은데
그걸로는 조금 부족. 그 집합이 closed라는 것이 필요함.
그냥 구체적으로 잡을 수 있는게, sin (1 / x) 는 구간 (1/(n+1)pi, 1/npi)에서 단조니까 주어진 점 x, y에 대해 주어진 점을 지나고 x축에 수평인 선을 그으면, 왼쪽 오른쪽으로 해서 함수의 그래프와 만나는 두 점을 sin (1 / x) 의 제한된 구간에서의 역함수로 잡을 수 있음 그럼 x좌표 나왔으니까 x좌표끼리의 거리의 min, y좌표끼리의 거리의 min을 가지고 반지름을 잡으면 되지