최소원소를 가지는 집합을 A라고 하면
임의의 b in A 에 대해 a <= b 이도록 하는 a in A 가 존재한다.
이잖음? (맞나?) 그럼 어떤 집합 A 가 최소원소를 갖지않는다면
임의의 a in A 에 대해 a>b 이도록 하는 b in A 가 존재한다
라고 해도 됨?
처음에 될거같다고 생각했는데, b in A 가 존재한다 쳐도 임의의 a in A 에 대해 a>b 가 성립해야하므로, a=b 를 생각해본다면 b>b 는 무조건 성립 안하니까 모순명제인가? 라는 생각에 사로잡혔음
머릿속으로는 저렇게 해도 될거같은데 논리기호로 써보면 뭔가 불가능해보임
임의의 b in A 에 대해 a <= b 이도록 하는 a in A 가 존재한다.
이잖음? (맞나?) 그럼 어떤 집합 A 가 최소원소를 갖지않는다면
임의의 a in A 에 대해 a>b 이도록 하는 b in A 가 존재한다
라고 해도 됨?
처음에 될거같다고 생각했는데, b in A 가 존재한다 쳐도 임의의 a in A 에 대해 a>b 가 성립해야하므로, a=b 를 생각해본다면 b>b 는 무조건 성립 안하니까 모순명제인가? 라는 생각에 사로잡혔음
머릿속으로는 저렇게 해도 될거같은데 논리기호로 써보면 뭔가 불가능해보임
집합 A가 최소원소를 갖지 않는다 라는 걸 좀 더 명확하게 해줘야 할 것 같은데 최소원이 존재한다면 (A, <)는 부분 정렬 집합이어야 하겠지만 (최소원의 정의상) 최소원이 존재하지 않는 (A, <)라고 했을 때 부분 정렬집합인지 아닌지 문맥만으로는 알 수 없음
부분 정렬집합이 무엇을 말하는 지 모르겠는데, 부분순서를 갖춘 정렬집합을 말하는 거라면 (A,<)의 최소원소가 있다고 해서 이 녀석이 정렬집합일 필요는 없음. N disjoint union Z에서 "N의 위에 Z가 있는" 순서를 생각하면 됨.
(A, <)가 부분 정렬집합이어도, 최소원이 존재하지 않고 극소를 여러 개 갖는 집합일수도 있는거고, 부분 정렬집합이 아니면 애초에 최소원의 얘기를 할 수 없을 것 같고
ultra// 부분 정렬집합이 아니라 부분 순서집합 내가 용어를 잘 못 썼다. 정렬집합일 필요는 없지 ㅇㅇ
정수의 부분집합에 대한 증명을 하고있었음
a=b를 왜 생각함? '임의의 a in A에 대해 [b in A가 존재하여 b<a></a>
여기 부등식 기호 다 짤리는 걸 깜빡했네. a in A 하나 잡고 그것보다 작은 b in A 있는데 b도 A의 원소니까 b보다 작은 무언가가 A에 있다고 생각해야지, 네가 적은 문장에서 그 b보다 작은 무언가가 b 자신이라는 보장은 없음. 순서의 정의상 그게 되지도 않을 거고.
맞음. 근데 네가 말하는건 임의의 원소를 잡아도 그것보다 작은 어떤 b가 존재한다는 거임.
영어로 적어보면 네가 적은 최소원소의 정의는 there exists an a in a set such that for any element b in the set, b>=a. 인데 이걸 부정하면 for all a in a set there exists a b such that a>b임. 맨 겉의 존재양화문을 부정하면서 이걸 보편 양화문으로 바꾸려면 이 존재양화사의 스코프안에 있는 보편 양화문이 부정되어야 함.
이 경우 there exists an a in A such that it is not the case that for any b in A b>=a이고. 보편 양화사 앞에 붙은 부정연산자를 없애고 존재양화문으로 바꾸면 이 보편양화사 뒤에 붙은 문장(이 경우 b>=a)에 부정을 취해야 하기때문에 Aa Eb in A ~(b>=a)이고, 이를 더 간단히 적으면 AaEb (a>b)가 되겠지.