Folland 책 본다는 사람 있다는 거 보니 그 책의 도입부에 나온 글귀가 생각나 문득 같은 의문 있는 사람 있는지 궁금해서 올려본다.
잘 알려져 있다시피 ZF, AC, CH는 서로 independent하다는 것이 몇몇 천재들에 의해 밝혀져 있다. 그러나 consistent한지는 밝혀지지 않았고 괴델에 의해 ZFC 내에서 그것을 증명할 수 없다는 것도 밝혀져 있다.
그래서 현재 ZF를 활용하는 사람들에게는 AC와 CH는 지위 자체는 동등하다고 볼 수 있다. 그런데도 많은 교재들이 AC나 AC의 동치명제(예를 들어 Zorn's lemma, well-ordering theorem)는 종종 명제 증명에 도입하고 있는 반면, CH는 상대적으로 파급력이 낮은지 CH 도입 자체를 별로 하려고 하지 않는다. (주관적 판단임.) 예를 들어 내가 지금 Folland 책도 도입부에 AC는 종종 쓸 거지만 CH는 삼간다고 쓰여있음.
그래서 무지성으로 AC를 가져다 써도 되느냐? 나는 AC를 사용한 증명 자체를 피하는 편이다. 물론 내가 수학전공자도 아니고 공학전공이기 때문에 더욱 그런 성향이 있는지 모르겠지만, 대부분의 수학자도 AC를 꺼리는 경향이 있을 것으로 생각한다.
문제는 ZFC보다 stronger theory에 의해 inconsistency가 증명될 '가능성'이 있다. 만약 그렇게 된다면 AC나 CH에 의존하는 정리들은 모두 똑같이 낙동강 오리알이 될 가능성이 농후하다는 거. 그렇다고 넋놓고 있다기 보다는 천재 수학자들이 땜빵하려고 엄청난 노력을 하겠지만...
여튼 궁금한 거.
1. 님들의 AC와 CH에 대한 선호도는? 또는 학계의 견해.
2. CH에 의존하는 유명한 정리가 뭐가 있는지 궁금.
ㄳ
수학자보다 공학자가 AC를 안쓰려 하는게 더 특이한것 같은데 ㅋㅋ 그냥 필요가 없는거면 모를까
개인적인 견해인데, 몇몇 pure existence theorem은 hardware implementation 고려했을 때 공학자로서 별로 도움되지 않는 편이고 constructive proof가 선호되는 경우가 많기 때문에 그런 표현을 쓴 거.
도움이 안된다기 보다는 도움은 되는데 constructive proof가 있다면 그것을 더 찾고 싶어지는 거지.
아 명제랑 알고리즘도 같이 필요한 경우면 그렇지
대부분의 수학자가 ac를 꺼린다고? ㄴㄴ 대부분의 수학자는 ac가 없으면 아무것도 못함. ch는 꺼리는 편이지
ㄹㅇㅋㅋ AC보다 약하긴 하지만, "어느 정도 약화된 AC"와 동치인 (over ZF) Hahn-Banach theorem이나, 증명에서 심심하면 튀어나오는 Zorn's Lemma나, 이런 거 사라지면 어케 하려고?ㅋㅋㅋ +) 기저 없는 벡터공간은 덤
그거 아님. Gödel's constructible universe L이 말해주는 건, ZF가 일관적인 만큼 ZFC도 일관적이라는 거임. 물론 ZF+AD(Axiom of Determinancy)는 AC의 부정을 증명하지만, 이게 ZFC보다 강한 theory는 아님.
CH에 의존하는 정리: 1. Under ZFC+CH, R^n endowed with the box topology is normal (M. A. Rudin) 2. Under ZFC, every hyperreal field is isomorphic to each other iff CH.
첨언하면 1은 ZFC만으로는 증명가능한지 알려져 있지 않음.
미안. 1에서 R^n이 아니라 R^ω이다.
좋은 정보 감사한데 ZFC의 inconsistency는 ZFC 내에서 증명할 수 없다는 뜻인데 어떤 점에서 '그게 아니'라는? stronger theory에 의해서 증명될 가능성이 있다는 말 자체는 다른 방법은 없다는 뜻으로 말한 것도 아닌뎅... 혹시 내가 놓친 부분이 있는지.
특히 AD가 stronger theory가 아니라면 ZFC의 inconsistency는 전혀 문제가 안됨. 전혀 다른 Axiom으로 inconsistency를 증명해봤자 무슨 영향이 있을까?ㅎ
ZFAD를 채택 안 하면 그만인데
네가 Folland 책에 있는 글귀를 올렸다고 했는데, 어디서부터 어디까지가 갖고 온 글귀인지 모르긴 하다마는, "문제는...하겠지만" 부분은 근거 없는 주장 or 괴델의 업적을 잘못 이해한 결과로 보임.
별로 와닿은 비판은 아니네용.
니가 무슨 의도로 말하는 것인지 이해가 안되네. 혹시 전공이?
그리고 문장의 취지를 이해를 잘 못하는 것 같은데 예를 들어 Schroeder-Bernstein theorem도 처음에는 AC 기반으로 증명했다가 추후에 AC 없는 증명이 다시 나왔는데 현재 Bernstein의 방식만 언급하는 이유도 AC를 이용하지 않는 점이 고려되는 것임. 꺼린다고 해서 안 쓴다는 게 아니라 AC를 필요로 하지 않는 증명이 더 선호된다는 뜻으로 하는 말.
슈뢰더 번슈타인은 ac가 없는 세팅에서도 쓸일이 있으니까 그런거고 집합론 전공, 논리학자가 아닌 대부분의 수학자들은 ac를 기본적으로 받아들이고 증명에서 ac가 필요한가 아닌가에 대해 딱히 집착하지 않음
하 ㅋㅋㅋ ZFC inconsistency 얘기하는데 ZFAD에서 AC가 false라는 말을 듣게 될 줄이야. 수준 ㅋㅋㅋ
수준 드립 치기 전에 ZFC의 inconsistency가 증명되면 ZF도 inconsistency도 증명된다는 것도 모르면서 ZFC의 inconsistency 얘기하고 있다고 하냐ㅋㅋㅋ
*ZF의 inconsistency
설마 수학 전공 아니리라고 믿는다. ㅇㅇ
네가 믿든 말든 뭔 상관임ㅋㅋㅋ 수학과에서 1차 논리와 집합론 필수과목 해야한다는 공학도보다는 낫겠지ㅋㅋㅋ
논리학 입문자도 안 할 수준의 소리를 하는데 누가 신뢰를 가지겠냐고 ㅋㅋㅋ 근거없는 주장 ㅋㅋㅋㅋㅋ 개웃기네 ㄹㅇ 심지어 ZFC와 서로 상충하는 axiomatic system은 넘치고도 넘치는데 AD를 언급한다?... 어휴 니 말투부터 개틀딱 냄새남.ㅋㅋㅋ
괴델 제2 불완전성 정리는 기본이니까 말 안한거고ㅋㅋㅋㅋ 네가 ZFC가 더 강한 이론에 의해 비일관적임이 증명되면 어쩌나 싶어서 걱정하길래, 만일 그렇게 된다면 ZF도 비일관적임이 증명된다고 말했더니 수준 드립 치는 애가 너였잖음ㅋㅋㅋ
그리고 갑자기 1차논리는 뭔 개소리임?
1. AC 없으면 안되는 일이 너무 많은데 CH는 상대적으로 영향을 주는 결과가 적어서 별 언급 안하는듯? 위상들을땐 교수님께서 AC는 자명히 참이라 AC가 거짓일 때를 묻는건 별 의미 없다하시고 실해석 들을땐 책에있는 증명이 AC쓴다고 다르게 증명하시는거 보면 전공마다 사람마다 생각하는게 다 다른듯
ㅇㅇ 분야마다 다를 수 있다는 말은 마니 공감함. 의견 ㄳ
2. The book에 있는게 나는 좋았음 {f_a}가 family of distinct analytic function (on C)이다. 각 z에 대해 {f_a(z)}가 at most countable이면 {f_a}도 countable인가?
수학과 맞음. 디시 댓글 불편하니까 더 대화하고 싶으면 내 갤로그-방명록에 비밀 댓글로 오카 링크 남겨 달라고.
내가 ZF+AD에서 not AC가 증명된다고 했지, 그게 ZFC의 무모순함의 부정을 증명한다고 말한 적은 없음. 그리고 네가 알든 모르든, ZF에서 [Con(ZF)이면 Con(ZFC)]가 증명된다는 것이 괴델의 업적 중 하나인데, 넌 뭘 알고 논리학 입문자도 안 할 소리니, 수준이니 그런 소리 하는 거임? 아직도 네가 뭘 모르는지 모르겠음?
내가 ZF 내에서 Con ZF implies Con ZFC를 부정했다고? ㅋㅋㅋㅋ neg Con ZFC이면 neg Con ZF가 되는 건 맞지. 그때는 ZF의 몇몇 문제되는 axiom만 손보면 되는 거임. 그걸로 ZF만 의존하는 기존 정리들이 송두리째 부정되는 되는 건 아니지. 하지만 AC에 기반한 애들은 문제가 안되겠냐? ZF 손보는 게 훨씬 간단한 일인데.
AD 언급해서 수준 타령한 건, 별 쓸데 없는 말을 끌여들여서 논지이탈을 시키는 게 문제라는 거임. 그게 왜 문제인지 모르겠음?
아무리 원글 읽어봐도 ZF만 멀쩡하게 남을 거라는 말 자체가 없는데 혹시 글 읽는 데 어려움 느끼세요?
걍 난 아직도 네가 선무당이라는 생각밖에 안 듦. 아는 척 하고 싶어서 안달난. ㅇㅇ
네가 착각이라도 하나 싶어서 AD 이야기 한거고, 그래서 그건 ZFC보다 강한 theory가 아니라고 말까지 남겼음. 그리고 [Con(ZF)이면 Con(ZFC)]가 의미하는 게 뭔지 아직도 모르겠냐고. 얘가 말해주는 게 AC 쓰고싶으면 써도 (ZF가 허락하는 한도에서) 괜찮다는 뜻이잖아. 근데 뭘 AC를 쓰니 마니 수학자가 꺼려하는 이유로 강한 이론에 의해
ZFC가 inconsistent하다고 밝혀질까봐라고 생각하는 거임. 정말 그렇게 밝혀진다면, 논의는 AC가 아니라 ZF에 초점이 맞춰질텐데. 선무당이 나라고? 명제만 읽고 그게 뭘 의미하는 지를 생각 안하는 네가 아는 척 하고 싶어서 안달난 거 아님?
너의 레토릭 정말 가소롭다 ㅋㅋㅋ 이해 못한 건 너니까 충분히 반성해라.
이렇게 나오면 나는 그냥 네가 수학 전공 아닌 것에 감사하고 물러나는 게 좋겠네. 반성은 내가 아니라 네가 해야 할 거고, 웬만하면 어디가서 수리논리 부심 부리지 않는 거 추천함.
아니 너 근데 말투 왜 그러냐? 글을 잘 못 읽는 건 충분히 이해할 수 있음. 사람마다 능력이 다르니깐 ㅇㅇ 하지만 나는 수리논리 부심 부린 적이 단 한 번도 없다. 저게 부심이라고 느낄 정도면 진짜 니 수학 베이스가 심각한 수준인 거라고 할 수밖에 없다. 이유를 모르겠네 증말 ㅋㅋㅋ
ZFC가 incons.하면 정확하진 않지만 the axiom of power set 같은 건 문제가 될 수도 있다고 생각하지만 그거에 대안에 되는 axiom은 이미 나와있다. 하지만 AC는? 왜 수학자들이 ZF + AC를 ZFC라고 명명한지도 전혀 모르겠지?
이젠 하다하다 말투를 트집잡네. 내가 글 잘 못 읽는 게 아니라 네가 엉망으로 이해한 내용을 써 놓은 거고, 넌 특정되고 싶지 않거든 ip나 가리고 다니든가ㅋㅋㅋ 자기가 수리논리 신봉자마냥 1차 논리 꼭 배워야하니 마니 했던 건 기억도 못하나봐?
체르멜로와 프랑켈이 기존 수학자들이 AC를 implicitly 쓰는 걸 발견해서 묶어둔 수학사 이야기를 하자고?ㅋㅋㅋ 그래서 내가 ZF에서, ZF 일관적이면 ZFC 일관적이라는 이야기가 무슨 뜻인지 써놨는데도 아직도 헛소리냐?
(수리논리 분야 제외) 많은 수학자들이 AC 쓰는 걸 꺼려하지 않는, 또는 어떤 증명이 AC가 쓰인 증명이니 아니니 따지고 있지 않은 이유는 간단함. 그거 없어지면 너무 중요한 정리들을 쓸 수 있다는 보장이 없어지거나, 아예 거짓이 되어버리니까.
명명 자체가 중요한 건 아니지. 그리고 ZFC가 inconsistent한 경우의 대안으로 뭘 준비하고 있는지도 찾아보기라도 했는지? 글을 잘못읽었다면 그 부분에 대해서는 ㅇㅈ이라도 하고 넘어가라 좀. 내가 아는 척이라도 하고 싶었으면 질문 글을 올렸겠냐고 상식적으로 ㅋㅋㅋㅋ 걍 혼자 찾고 말지. 수학 전공은 아닌 거 같으니까 말하면, 수학 부심이라는 건 있을 수도 없다고 생각. 학문에 대한 고민을 해봤다면 이런 글에 저런 식으로 절대 말 못하지. 그냥 무조건 '아 그게 아니고~'로 시작하는 전형적인 수학 부심은 도대체 누가 부리신?ㅋㅋㅋㅋ
근데 CH는? 그런 거 없음. 해석학 하는 표준적 방법이 ε-δ 논법이고 비표준적 방법이 초실수체 이용하는 건데, 그냥 지금 엡델 잘 쓰고 있는데 굳이 초실수체 써야할 이유가 있겠음? box topology를 갖춘 R^ω?
R^ω 부터가 일단 관심이 적은 대상이고, Cartesian product에 주는 토폴로지는 product topology가 더 standard하고 원하는 성질도 가지는데? 딱히 CH가 다른 분야에 미치는 영향이 별로 (알려진 게) 없다는 거임.
그리고 내가 그런 댓글을 달았는지 기억이 어렴풋이 나긴 하는데 님 뒷조사하고 다님?ㄷㄷㄷ 14.36으로 검색한 거임? 헐; 아니 내용으로 승부하라고 좀; 뒤 캐지 말고. 애초에 공대생들에 집합론 선행하라는 말 자체는 그게 문제도 안 되는 발언인데 어디가 도대체 맘에 안 드는 거야?
위에 니가 단 답변이 바로 이 글이 원하는 답변이었음. 그건 ㄳ
"난 이만큼 알고 있는데 님들은 어떰?" 이라는 아는 척으로 보이는데? 자연수 덧셈에서 "1+1=3"이라고 하면 당연히 "그거 아님"으로 반응하지 ㅋㅋㅋㅋ 그리고 난 분명히 네가 내 전공이 수학이 아니라고 믿든 말든 뭔 상관이냐고 말했음ㅋㅋ
ㅇㅇ ㄴㄴ 전공 자체는 말의 신뢰도를 높이는 데 영향을 주기 때문에 질문할 수도 있다고 생각한다.
1 + 1 = 3이라는... 모순되는 발언 한 적 한 번도 없으니깐 넌 좀 독해부터 배우자.
그리고 ZFC 터져도 AC 탓 아니라는 게 그리 이해하기 어렵냐고. 괴델의 업적 이해해는데도 ZFC 터지는 것 때문에 AC 꺼려진다는 게 말이 안된다는 뜻이잖음. 내가 왜 이걸 몇 번이나 반복해서 말해야 되는데.
넌 비유의 개념도 모르냐? ㅋㅋㅋ 네 말이 부디 날 비꼬는 말이었기를 진심으로 빈다.
아니 ZFC가 터지면 AC 버리고 ZF + alpha 땜질로 살리는 준비가 이미 많이 돼있다고요, 하;; AC를 쓰는 이유는 그 공리의 단순함 때문이라고 믿지만 (개인 의견), ZFC가 터지면 AC가 가장 큰 문제가 된다는 게 이해가 안됨? ZFC 터지면 모든 낱개 공리들이 다 부도 지분 동등하게 가질 거 같냐?ㅋㅋㅋㅋㅋ
그리고 내용에서 벗어나서 수준이니 뭐니 딴소리한건 네가 먼저 시작한 거임ㅋㅋㅋㅋ 네가 천박한 토론 습관 가졌다고 남들이 먼저 생각했을 거라 생각하진 마셈. 그리고 내가 그걸 어찌 아냐고? 보는 사람 부끄러운 주장을 당당히 하고 다니니까 기억에 남을 수 밖에ㅋㅋㅋㅋ
모순이라는 것이 없다는 표현을 이해 못한다고? 허미;; 심하네 이건. 저걸 걸고 넘어질 줄이야 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ultra야. 네가 쓰는 언어들이 상당히 수준이 낮긴 해. 내 언어도 그렇다는 걸 부정하진 않겠다. 먼저 상대도 안되는 애가 시비걸면 카운터는 치긴 하거든. 하지만 정당한 비판이면 바로 받아들임. 하지만 넌...
아니 ZF에서 [Con(ZF)이면 Con(ZFC)]를 알고 있다며ㅋㅋㅋ 그러면 '수학자들이 AC를 쓰기 꺼려하는데 그건 ZFC가 inconsistent함이 더 강한 이론에 의해 밝혀질까봐 '라는 네 생각은 ZFC에서 C에게 폭탄 돌리기 하는 거라니까?
난 처음부터 이리 공격적으로 나오지 않았고, 네가 먼저 수준 이야기, 말투가 개틀딱이니, 이런 식으로 공격하니까 어투만 공격적으로 맞춰준 거임ㅋㅋ 상대방 수준 재단한 거, 선무당이니 뭐니 지레짐작힌 거 모두 네가 시작한 일이야ㅋㅋㅋ
네 CH에 대한 정보는 네가 분탕질만 참았어도 내가 좋은 답변으로 받아들였을 텐데... 그건 좀 안타깝게 생각한다.
그냥 네 평소 말버릇이나 좀 신경을 써보든가. 먼저 수준 운운하며 공격적으로 나온 게 누군데? 그러면서 친절한 답변 바라는 게 욕심이지ㅋㅋ
혹시 출신 대학 물어봐도 되나? 나는 서울대 공대임.
같은 서울대면 좀 만나서 이야기하고 싶음. 내가 밥 살게.
학생회관(62동)에서 만날까?ㅋㅋㅋ
ㅇㅇ 배우는 입장이면 뭐든 좋음. 대학원생이냐?
나 설입이라 바로 앞인데 가능?
나 지금은 집이라 안 됨. 내 방명록에 비밀 댓글로 오카 링크 남기면 들어감
만나서 따질 생각은 전혀 없고 만약 내가 모르는 내용이 있으면 배우는 자세로 이야기하고 싶다.
(62동) ㅋㅋ 학생회관에 동번호 있었는지 첨 알았네. 만약 니가 수학과라면 25동 근처일 텐데 아님?
예전에 선대 들었을 때 25동에서 들었는데
신상 공개될까봐 무섭긴 함 ㅜ
수리과학부 맞음. 디시 댓글 쓰기 불편하니까 더 대화하고 싶으면 내 닉네임 클릭해서 갤로그 들어간 다음 방명록에 오카 링크 비밀 댓글로 남겨 주셈.
디시 잘 안 해서 모르겠는데 비댓 어케 달지?
오해가 있었던 거 같아 서로 대화로 잘 매듭지었습니다. 댓글 보시는 분들 오해 없길.
아니면 내가 오카 링크 파?
비밀 댓글을 여기서는 못 달고 방명록에 가야 달 수 잇음.
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씹ㅇㅂ벌레 댓글은 원래 지움
병신새끼가 인터넷 개통 오늘했냐? 디씨에서 게이게이거린다고 일1베 ㅇㅈㄹ할거면 갤에 기어들어오질 말던가 ㅋㅋㅋㅋ 취미충새끼 기초론 좀 깔짝이고 아는척 좀 하려다가 쳐발려놓고 입은 존나 살았네 ㅋㅋㅋ
눈 마주치고는 한마디도 못할 새끼가 ㅋㅋㅋㅋㅋ 왜 나랑도 학관에서 한번 볼까? 내가 못할말 한것도 아닌데 추하게 댓삭하는 새끼 얼굴이나 좀 보고 싶은데
확실히 벌레는 벌레네 ㅗㅜㅑ
댓글 다 지우니까 나 혼자 급발진하는 것 같네
말투공손해진거 개웃기네ㅋㅋ