선대 다시한번 공부함


선형대수의 R^n의 대수적인 정의가 기하학적인 성질들(평행사변형법)을 만족하는가에 대한 질문입니다.


예를들어 R^2의 벡터 A(a,b) B(c,d)에 대해 벡터합을 평행사변형법으로 직관적으로 설명하던데


대수적인 좌표정의가, 과연 평행사변형이라는 직관적인 설명에 부합할까를 알아봤는데 기하학적 지식을 약간 동원하며 그렇게 되더라구요.


점 A, O, B가 평행하지않을때 A,B의 중점은 (a+c/2,b+d/2)이고 이거 두배한게 (a+c,b+d)이므로 이는 평행사변형의 성질에 의해 직관에 부합합니다.


이걸 R^3로 확장해서 점 3개가있으면 평면이 하나 결정되므로 평면화 시켜서 생각해보면 공간에서도 평행사변형 법칙이 성립한다는걸 알수있었습니다.


R^n도 눈엔 안그려지지만 이를 추상화한것이라 보여지구요.




또 R^n의 두 벡터(u,v)의 교각을 왜 arccos(u내적v/|u||v|)로 한건지도


R^2에서 교각이 0이나 pi가 아닐떈 코사인 제 2법칙으로 설명해보고, 각이 0이나 PI일때도 알아보면 저 공식이 성립하는걸 보였고


공간에서도 위와같이 성립하고 그래서 R^n으로 확장한거구나 알수있었습니다.




그런데 이건 그냥 제가 생각해낸것이고


체계적으로 R^n이 어떻게 추상화되었고 기하학적인 부분과 대수적인 부분이 어떻게 매치되는지 설명한 컨텐츠를 찾고있습니다.