(x²+4x+22)²=(3^6)* x의 실근을 구하여라
x가 양수가아니라면 모순이므로 양변에 루트
x²+4x+22=27루트(x)
(x+2)²=27루트(x)-18
양변을 9로 나눔
(x+2)²/9=3루트(x)-2
y=3루트(x)-2 의 역함수는
x=3루트(y)-2
y=(x+2)²/9 (x>=-2)
증가함수므로 x와의교점이 역함수와의교점.
따라서 (x+2)²/9 = x (x>=-2)의 실근이므로
x=1과 4가 답.
이런건 대체 어떻게생각해요?ㅠㅠㅠ;
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경시대회문제가 저런식으로 듣도보도못한 테크닉으로 푼다고 맛보기로보여준문제라는데 ㅠ 저런거 떠올리는건대체우찌하는지 - dc App
오 ㅋㅋ 정리를해보면 원함수 = 역함수가 나오는 문제네
원래 수학은 뜬금포의 학문... - dc App
그냥 하다보니까 그렇게 된 거. (x+2)²/9=3루트(x)-2까지는 그냥 하다보니까 나온거고, 좌변과 우변이 서로 역함수 관계고 단조증가 연속함수니까 y=x에서의 교점이 역함수와의 교점이라는 사실을 이용한것.
왜 연속함수와 역함수가 연속이고 단조증가할때 y=x에서의 교점과 역함수와의 교점이 일치할수밖에 없냐면, 만약 x_0 < y_0인 점 (x_0 , y_0)에서 연속함수 f와 연속함수인 역함수 f가 일치한다고 하면, y_0 = f(x_0), y_0 = g(x_0)를 만족하니 g(x_0) = y_0 , f(x_0) = y_0를 만족하므로 (y_0 , x_0)도 교점이 됨. 하지만 y_0 > x_0이므로 f가 증가함수라는 가정에 모순임.
정리했을때 좌변은 이차함수고 우변은 무리함수라 혹시 역함수일수도? 하고 관찰력+ 때려맞치기로 가능할수도 있을듯 물론 이런 풀이 떠올리는 가장확실한 방법은 유사한 문제들을 이전에 공부하는거임ㅋㅋ