제 생각을 먼저 써보겠습니다. 문제는 T:R->R이 additive이면서 linear는 아닌 게 존재함을 보이라고 했습니다. 그런데 힌트에서는 R over Q라고 생각하고 기저를 생각한다음 적당한 방식으로 T를 구성하고 연습문제 34에 의해서 존재성+유일성+linear인 걸 보였습니다. 그런데 갑자기 힌트 뒷부분에선 T가 additive이지만 linear는 아니라고 해서 좀 혼동이 왔습니다.
그래서 혹시, “아 c=y/x로 잡았으니까(그리고 이건 유리수가 아닐 수도 있으니까) 저렇게 T를 적절하게 구성하고 그런 T를 다시 유리수체 위에서가 아니라 실수체에서 보면 additive이지만 linear는 아니라는 건가?”라고 생각을 했는데 “유리수 위에서의 실수 벡터 공간”을 이용해서 신나게 T를 구하더니 갑자기 “실수 위의 실수 공간”에서 T는 linear는 아니라고 하니 이렇게 해도 되는 건지 궁금해서 여쭤봅니다… 저도 생각이 꼬여서 무슨 소리하는지 좀 애매하긴하지만
질문1. 유리수 위의 실수에서 T: R->R 구하고 다시 실수 위의 실수로 넘어온 것이 맞는지?
질문2. 그게 맞다면 저렇게 논리전개를 해도 상관없는지?
입니다.
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그니까 T가 Q-linear이지만 R-linear는 아니라는 말임. 함수가 linear인지 여부는 field를 뭘로 두냐에 따라 달라지니까..