해석학에서 배우는게, 무리수->자연수 bijection은 없다 인데,
이거 증명하는 방법이 주로
모든 무리수를 다음과 같이 나타낸다고 쳐보자.
X1 = 0.a1 a2 a3 ...
X2 = 0.b1 b2 b3 ...
...
그렇다면, 내가 수 하나를 만드는데
Y = 0.y1 y2 y3 ...
y1은 a1과 다름, y2는 b2와 다름, y3는 c3와 다름, ...
이 경우 Y에 대응시키는 Xn (n)을 찾을 수 없다.
이거잖아요.
근데, 이거 유리수에도 마찬가지로 적용시킬 수 있는거 아닌가요?
물론, 유리수는 다른 방법으로 자연수 집합 N에 bijection을 만들 수 있는건 아는데요,
그냥 위의 방법을 그대로 유리수에 저런식으로 적용시키면
마치 "유리수->N bijection은 없다" 와 같은 결론을 얻을 수 있지 않나 싶어서요..
똑같이 한다 치면 Y는 유리수가 아닌데요
조금 더 설명해주실 수 있나요? 왜 유리수가 아닌건지요.. 이거 혹시 유리수는 반드시 어느 시점부터 순환하게 되어있는 그런거때문에 그런건가요?
ㅇㅇ 그리고 유리수가 아닌걸 보여야 니 말을 부정할 수 있는게 아니라 유리수라는걸 보여야 니 논리가 성립하는거임. 물론 어떻게 잡든 무리수가 나오는게 사실이고
아.. 유리수라는걸 보여야하는 조건이 있네요. 무리수야 그냥 아무 숫자나 잡아도 되는거고.. 감사합니다.
네가 쓴 글도 저것만으로는 부족함. 저렇게 잡은 Y가 무리수여야 하는데, 이건 네가 잡은 bijection과 Y를 만든 방법에 의존하기 때문에 Y를 만들 때 무리수가 나오도록 만들어 줘야 함.
그래서 보통 무리수라고 하지 않고 실수라고 한 다음에 유리수가 countably infinite이니까 무리수는 uncountable이라고 결론 짓지.