[대학교이상] 명제에서 의문

[익명(116.41)]

벡터공간 V의 부분집합 W가 벡터공간=>W는 부분공간

이 명제는 거짓은 명제이고 이유로 체가 다르거나 연산이 다를 수 있다는데

애초에 벡터공간이라는 집합 자체가 연산&체가 같이 정의되있지않나요?

그렇다면 그 연산이 정의되있는 집합의 부분집합은 당연히 같은 연산&체를 갖고 있지 않나 하는 의문이..

- dc official App

[익명(175.124)]

가장 단순하게 실수에서 유한집합을 뽑아서 유한체로 만들수 있고 체는 자연스럽게 벡터공간이잖아

[ultraproduct(ultraproduct)]

부분집합의 정의를 상기해보면 알 수 있음.

[익명(116.41)]

딱히 특별할게 있을까요...? 그냥 집합의 원소들이 모두 포함되는 관계니까 W는 V의 원소들중 일부가 모인 걸로 볼 수 있으니까 V에서 연산이랑 체도 같이 정의되어있으니까 V의 원소 중 일부 모아도 같은 연산 체 갖고있을거고.. - dc App

[ultraproduct(ultraproduct)]

누가 부분집합의 정의에 연산이 포함되어 있다든?

[익명(116.41)]

기반이 되는 원래 집합 V가 연산이 같이 들어가있기때문에 부분집합도 같이 끌고가지지 않나요? - dc App

[익명(116.41)]

보통 집합의 정의가 특정 조건을 만족하는 원소들의 모임이니까 그 집합의 부분집합도 원래 조건을 갖고있지않나요? - dc App

[ultraproduct(ultraproduct)]

아니다. 그리고 선형대수학 공부 시작하는 레벨이면 집합의 정의는 지금까지 막연하게나마 뭘 모은 것이라고 했지 명확하게 짚고 넘어간 적이 없을 것 같은데?

[ultraproduct(ultraproduct)]

집합에 연산을 붙여서 생각하니까 이 사단이 나지. 엄격히 말해서 벡터공간의 정의는 주어진 집합과, 그 집합 위의 '덧셈'과, 그 집합과 주어진 체 사이의 '상수곱', 이 셋의 삼중쌍이다.

[ultraproduct(ultraproduct)]

문제에서는 W가 V의 부분집합이면서, 벡터공간이라고 말했지, V의 부분공간이라고 말한 적은 없음. 이건 곧 W가 어떤 연산을 갖고 있는지 모른다는 말이고, 따라서 V의 부분공간이라는 보장이 없다는 거다.

[익명(116.41)]

그러면 애초에 벡터공간 V 라는 표현이 옳지 않은거 아닌가요..? V는 집합인데 벡터공간은 집합과 연산 삼중쌍이니까 - dc App

[ultraproduct(ultraproduct)]

편의상 그렇게 표기하는 거임. 매번 tuple로 적기는 번거로우니까.

[익명(125.177)]

그래서 카테고리라는 개념이 그런걸 명확히 하는데 쓸모가 있음. "실수체R위의 벡터공간들" 이라는 카테고리에서 V의 subobject가 W라고 쓰면 니가 밀한대로 참임. "집합들" 이라는 카테고리나 "모든 벡터공간들" 이라는 카테고리에서는 거짓임.

[익명(116.41)]

여기서는 모든 벡터공간들이라는 말이 없는데요.?? - dc App

[익명(175.223)]

V에 있던 연산이 W에도 정의돼?있는건 맞지. 근데 예를들어 W내의 두 원소 a,b의 합(V에 주어진 연산) a+b가 W에는 없을 수도 있는 거 아닐까?(사실 이런 점에서 W에는 V의 연산이 그대로 주어져 있다고 볼 수 없음) W가 벡터공간이라고 해서 항상 'V의 연산들에 관해서 벡터공간'안 필요는 없으니까.

[익명(116.41)]

아 W의 원소가 V의 원소에서 가져온거긴 하지만 그 원소들이 V랑은 다른 연산이면서 벡터공간의 공리들을 만족시킬수 있다 이말인가요 - dc App

[익명(116.41)]

그러면 제가 본문에 썼던 벡터공간이라는 집합 자체가 체&연산이랑 같이 정의된다는 말은 틀린거네요? - dc App

[ultraproduct(ultraproduct)]

본문 내용대로라면 W가 가진 연산이 V에 있던 연산이라는 보장고 없음. 그리고 V에 있던 연산이 W에 정의되어 있고 W가 벡터공간이면 a와 b가 W의 원소인데 a+b(V의 연산)이 W에 있을 수 밖에.

[카카오(73.146)]

벡터공간의 정의를 집합적으로 명확히 써보면 쉬워보일거에요. 연산이 알아서 잘 정의된 V라는 집합이 아니고, (V,k, 더하기, 상수곱) 이렇게 네개의 데이터를 묶어서 한번에 벡터공간이라 부르는거에요. 근데 편의상 그냥 V라고 쓰죠. 명제에서 나온 "부분집합 W" 부분은 k, 더하기, 상수곱 들과는 전혀 상관이 없는 단순한 V의 부분집합을 의미해요. 그니까 base field k가 달라질수도 있고, W의 더하기랑 상수곱이 V의 더하기/상수곱과 전혀 상관이 없는애가 될수도 있는거죠. 단적으로 예를들어서, complex number C는 C-vector space에요. 그리고 C의 부분집합 R은 R-vector space이죠. 하지만 R은 C의 부분공간이 될수 없어요. base field가 다르기 때문이에요.

[익명(116.41)]

벡터공간이 이렇게 네개의 데이터를 묶어서 부르는거면 명제에서 벡터공간 V의 부분집합이 아니라 그냥 집합 V의 부분집합 이런식으로 쓰는게 맞지 않나요? - dc App

[카카오(73.146)]

그렇게 쓰는게 문맥상 더 자연스럽지 않냐고 저자에게 따질수는 있겠지만, 틀린 표현은 아니에요. 벡터공간 V라고 하는 표현이 (V,k,+,x)를 의미하기도 하고 집합 V를 의미하기도 해요.

[공머생(106.102)]

집합= 걍 숫자들의 모임 벡터공간= 어떤 집합과 체를 가져와서 거기에 연산까지 정의한것 부분집합= 걍 모집합의 숫자들의 모임 부분(벡터)공간= 부분집합에 모 벡터공간의 연산을 정의해서 새 벡터 공간을 만들수 있으면 그 공간을 부분공간이라 부름