평면상에 놓인 연속적인 두 임의의 도형이 서로 임의의 두 위치에 존재할때 어떤 직선으로 갈라 둘이동시에 이등분되게하는게 가능하다는것같은데
(도형을 움직이지않고)
증명을 어떻게하나요? 저건 하나의도형을 자르는증명이라서 좁더심화시켜야할듯한데
하나의도형을 이등분하고있는채로 직선을 한바퀴돌려서(?)
돌리면서 계속 이등분되는건 유지하고 쓸고지나가면 된다?이런걸 서술해야되기가좁 애매한거같은데
이등분되는걸유지하면서돌릴때 이게 특정점을 계속지나면서돌리는게아닐수도잇으니 (어떤도형을 이등분하는 직선이 반드시지나야하는 점 같은게없다면)
이리저리 휙휙돌면서 한바퀴돌리면 남은도형을 0%에서100%로등분되게안될수도잇지않나?싶어서
- dc official App
써는 각도를 생각해봐
평면을 임의로 축을돌려 설정해줘서 x=c 직선으로 두개이등분 가르는게가능하다고치게 햇을때 두도형의 넓이합이 두도형전체의절반이되게 자르는건 보장되지만 각각이 절반인지는보장못하게되지않나요그렇게하면 - dc App
임의 각도로 한 도형을 이등분할수 있잖아 그리고 가령 x=c가, 즉 90도때 하나는 이등분하는데 다른건 이등분 못한다고 하자. 그러면 어느 한쪽은 작아질 것이고 270도로 짤랐을땐 반대방향이 작아질것 그러면 그중간 어딘가에선 두부분이 같을것
결국 x=c라는 형식보다 각도에 초점을 맞춰야해
그거를 완전하게서술하는걸 어떻게해야될지가 궁금해서 - dc App
뭐 함수f(x)를 썬 칼날의 오른쪽 빵의 넓이라고 하면 f(90)<s>S/2니까 90</s>
위에처럼 각도를 생각하면 되는데, 이거 쉽지는 않음. 아이디어는 한 개는 무조건 반으로 자른다 생각하고, 다른 한 개가 반으로 될 때까지 잘 맞춰주는 거임.
무조건 자를 거를 A라고 하고 반대편 거를 B라고 하자. 0을 중심으로 가지는 반지름 1짜리 원을 생각하고, 원의 각 점을 수직 벡터로 가지는 평면을 생각해 보자. 그럼 그 평면을 잘 평행이동하면 A를 자르는 평면으로 만들 수 있음.(중간값 정리) 근데 문제는 B가 절반으로 안 잘려있을 수 있지.
그럼 이제 반지름 1짜리 원 위에 얼마나 안 잘렸는지 함수값을 부여할 수 있고 (예를 들어 그 평면에서 위 쪽이 차지하는 B의 면적 - 아래쪽이 차지하는 B의 면적) 이 함수가 연속인 것만 보이면 다시 중간값 정리를 써서 0이 있음을 보일 수 있고 끝.
이거 일반화는 Borsuk–Ulam theorem이라고 있는데, 이건 님이 대학교 수학과로 와서 오래 썩고 있으면 알게 될거임.
일단 "1. 빵이 몇개든 상관없이 '직선 x = s로 나눠서 x<=s 인부분에 있는 빵조각, 부스러기 등등의 넓이 총합' 을 f(s)로 두는 걸 생각"해보자. s가 처음엔 굉장히 작다가 점점커지면서 빵쪼가리들을 지나칠거고 f(s)도 0에서 점점 커지다 S가 됨을 예상해볼 수 있음. 특히 "2. f(s)가 연속인가"도 중요하지.
즉, 봐야할 질문을 요약하면 1. 빵쪼가리가 어떤 모양새를 가져야 넓이라는 게 있는지(왜냐면 사실 넓이라는 값을 모든 빵쪼가리에 부여할 수 있는건 아니거든. 우리가 보통 도형하면 넓이가 있다고 생각할 수 있지만 실제로 항상그런건 아님. 넓이가 없다면 f도 정의해주기 힘들겠지) 2. 그런 f(s)가 정말 연속인가? 임.
이에 대한 답으로 "빵쪼가리가 '괜찮은 모양'이면 넓이도 잘가지고 이때 f(s)는 연속이다." 임이 수학적으로 증명돼있음. 그래서 나머지는 본문의 책에 나온데로 s가 a일때 f(s) = 0 이고 b일때 f(s) = S 일테니 사잇값정리에 의해 S/2가 되는 c가 있는데
여튼 굳이 두개의 도형 3개의 도형, 뭐 유한개 등등 상관없이 꽤 일반적인 '도형'을 생각해도 증명됨을 알 수 있는거지
하나를 나머지 하나 위에 겹쳐 올려서 자르기
centroid 생각하면 되지 않나요??
대충 set의 Hausdorff measure 를 생각하면 그냥 n-1 dim plane 을 어느방향으로 움직였을때 잘린 한쪽의 measure 가 그 plane 의 parameter 에 continuous 함을 보이면 되잖음
글쓴놈 고딩일것같은데 알아듣겠냐? - dc App
위에증명에서 x좌표 t값에대한 넓이가 f(t)였다면 탐구에서는 기울기a인직선과 기울기m인 직선 사이에 샌드위치에 대한 넓이를 f(m)으로 잡으면 될듯 그리고 m의 범위를 왼쪽샌드위치랑 접하는기울기a 오른쪽 샌드위치랑 접하는 기울기b 따라서 f(m)은 닫힌구간 [a,b]에서 연속, f(a)=0 f(b)=S 이므로 사잇값 정리에 의하여 f(c)는 S/2인 c값이 a와b사이에 적어도 하나가 존재한다. 요거 같아요 문제 자체가 개떡이라 이게 최선인듯
f(m)을 직선이 쓸고간 영역으로 보는게 정확할듯 그리고 기울기:m보다는 각:세타를 변수로 잡는게 더 이해하기 쉬울듯