확률에 대해 깊게 이해하고 싶어서 측도론을 배우고 있습니다
시그마대수 개념이 등장하니까 위상의 정의와 비슷해보여서
대수, 시그마대수, 위상간의 관계에 대해 고민해 보았습니다
위 3개는 주어진 집합에 대해 특정 조건을 만족하는 집합족을 지칭한다는 점에서 공통점을 가진다고 생각했습니다
위상은 arbitrary union, finite intersection에 closed
대수는 finite union, complement에 closed
시그마대수는 countable union, complement에 closed
따라서 시그마대수는 대수의 부분집합임이 쉽게 증명되고
핵심은 대수와 위상관의 관계인데
결론은 서로 차이는 있으나, 교집합이 존재하고
특히 시그마대수와의 교집합에 borel 대수가 있다
라는 벤다이어그램을 그렸습니다
여기까지 이해한 것이 맞나요?
그리고 추가적으로, 그림에 따르면 대수지만 시그마대수는 아니면서 위상과 교집합을 이루는 영역도 존재하게 되는데
이에 대한 명칭이 따로 있을까요?
시그마대수 개념이 등장하니까 위상의 정의와 비슷해보여서
대수, 시그마대수, 위상간의 관계에 대해 고민해 보았습니다
위 3개는 주어진 집합에 대해 특정 조건을 만족하는 집합족을 지칭한다는 점에서 공통점을 가진다고 생각했습니다
위상은 arbitrary union, finite intersection에 closed
대수는 finite union, complement에 closed
시그마대수는 countable union, complement에 closed
따라서 시그마대수는 대수의 부분집합임이 쉽게 증명되고
핵심은 대수와 위상관의 관계인데
결론은 서로 차이는 있으나, 교집합이 존재하고
특히 시그마대수와의 교집합에 borel 대수가 있다
라는 벤다이어그램을 그렸습니다
여기까지 이해한 것이 맞나요?
그리고 추가적으로, 그림에 따르면 대수지만 시그마대수는 아니면서 위상과 교집합을 이루는 영역도 존재하게 되는데
이에 대한 명칭이 따로 있을까요?
Borel algebra가 내가 아는대로 R^n의 standard topology를 포함하는 가장 작은 algebra가 맞다면, 걔는 topology가 아닌데?
주어진 집합 X에 위상 T를 주면, T의 모든원소들 (모든 open set)을 포함하는 가장 작은 sigma algebra를 Borel Algebra라고 서술한겁니다. open set 포함 + 시그마 대수의 조건만족을 위해 원소가 늘어나는 경우가 많을거 같은데, 이 늘어나는 원소 (X의 부분집합)이 위상의 조건을 만족하지 않을 수도 있다는 말씀이신가요?
ㅇㅇ. 당장 내가 적은 구체적인 예시가 바로 topology가 안 되는 경우임.
그리고 늘어나는 경우가 많다는 건 무슨 뜻인지 모르겠는데. 네 정의에서 주어진 topological space의 Borel algebra는 유일하게 존재하잖아.
아 늘어난다는거는 topology 집합 기준이었습니다. Topology의 원소들로는 시그마 대수의 조건을 만족 못하는 경우가 있으니, 추가해야할 원소들이 있겠죠 (그래서 가장 적게 추가할때 그거를 borel algebra 라고 하는 것이겠고요)
아니 Borel algebra 말하는데 경우 따지고 말고 할게 뭐가 있는데. 늘어나는 거야 당연히 늘어날 수 있지. 근데 Borel algebra 말하고 있는데 뭔 늘어나는 경우를 따지고 있음. 딱 하나밖에 없는데.
어쨌든 결국 말하고 싶은 건 Borel algebra가 topology라는 보장은 없다는 거임.