형님들 이거 group 공부하는데, group의 전 단계인 semigroup, magma까지 공부하다가 갑자기 궁금해진 명제가 생겼음.
잘 안풀려서 혹시 아시는 분 있으면 댓글 달아주시면 감사히 공부하겠음!



궁금한건 다음의 생각임.
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S는 원소가 2개 이상인 집합이고, 연산 # 는 S에 작용하는 이항연산이다 (즉, # is a binary operation on S).

(다시말해 (S,#)는 magma 이다.)


이 때, 이 magma가 left-identity는 딱 하나만 가지고, right-identity는 존재하지 않을 수 있는가??

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용어는 위키에서 가져와서 정확하지 않을 수 있으니,

조금 더 정확하게 적어보겠음.

- # is a binary operation on S if # is a function from S^2 to S

(만약 #이 associative law 까지 성립한다면, (S,#)는 magma에서 좀 더 구체적인 semigroup이 되겠지)


- The left-identity of (S,#) is an element e1 ∈ S such that #(e1 , s) = s for all elements s ∈ S

- The right-identity of (S,#) is an element e2 ∈ S such that #(s , e2) = s for all elements s ∈ S

다른 일도 함께 하고 있어서 바로 확인이 안될 수도 있다는 점 미리 죄송하다는 말씀을 드리겠음!

(예시가 associative law 가 성립하면 좋겠지만, 성립 안하더라도 괜찮음! 힌트가 될 수 있으니..)



(참고로 left-identity가 하나가 아니라 여러개인 경우는 이미 예시를 만들었음! 2x2 행렬을 이용할 수도 있고 다른 여러가지 방법도 있었음.

단지 딱 1개만 있는 경우를 만들기가 쉽지 않다 이거지..)



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<17일 오후 5시35분 추가사항>


방금 하나의 예시를 만들어봤어.

S에 원소가 딱 두개 a,b만 있는데

#(a,a) = a,   #(a,b) = b

#(b,a) = a,   #(b,b) = a

인 경우지.


이 경우는 a는 left-identity 이지만 right-identity는 아니고, b는 애초에 left-identity도 아니고 right-identity도 아닌 경우야.

아쉽게도 이 경우는
#(#(b,a),b) = b
#(b,#(a,b)) = a
라서 결합법칙은 성립하지 않음. 

결합법칙이 성립하는 예시가 있을까??

좀 더 일반적인 경우가 있을까?