연습문제에서
Every finite-dimensional vector space is the dual of some other vector space
이거 참이라고 하더라고요… 그런데 V=R^2라고 하면 dual이 R^2가 되는 vector space가 존재한다는 건데… 이러면 모순 아닌가요?
일단 참이라고는 해서, 1. V의 basis로부터 V*의 dual basis를 생성할 수 있고 2. V*의 basis는 V의 some basis의 dual이고, 3. V와 V**사이에는 isomorphism이 존재하므로
V=L(W,F)라고 설정한 다음(여기서 일단 그런 벡터공간W가 존재하는지에서 한 번 막힙니다.) 그러면 V=W*, V*=W**이니까 W와 W**사이에 isomorphism의 역함수를 (k라고 하겠습니다) 이용해서 k(V*의 basis)=W의 basis를 얻습니다. span(k(V*의 basis))를 W라고 하면 이제 V는 dual space of W가 될텐데요,
처음에 W의 존재성을 가정한 게 마음에 매우 걸립니다.
그리고 이런 식으로 책에 나온 정리에 근거해서 전개한다고 해도(이 방법이 맞는지는 차치하고) 계속 답답한 느낌이 남아있습니다… 예를 들어 위에서 언급한 R^2이 어떤 벡터 스페이스의 dual이라는 건데 이게 저한테는 와닿지가 않거든요…
좀 길어졌네요.
1. 저거 정말 참인가요?
2. 저게 참이라면 제 엉성한 논리전개가 맞나요?
2-1. 맞다면 W의 존재성을 가정하고 출발하는 게 잘못되지 않은 이유가 뭐죠?
3. 그러면 R^2는 어떤 벡터공간의 dual이라는 건데 예시를 들어주실 수 있나요? 아무리 그래도 어떤 linear functional이 (x,y)가 된다는 게 이해가 안 됩니다.
Every finite-dimensional vector space is the dual of some other vector space
이거 참이라고 하더라고요… 그런데 V=R^2라고 하면 dual이 R^2가 되는 vector space가 존재한다는 건데… 이러면 모순 아닌가요?
일단 참이라고는 해서, 1. V의 basis로부터 V*의 dual basis를 생성할 수 있고 2. V*의 basis는 V의 some basis의 dual이고, 3. V와 V**사이에는 isomorphism이 존재하므로
V=L(W,F)라고 설정한 다음(여기서 일단 그런 벡터공간W가 존재하는지에서 한 번 막힙니다.) 그러면 V=W*, V*=W**이니까 W와 W**사이에 isomorphism의 역함수를 (k라고 하겠습니다) 이용해서 k(V*의 basis)=W의 basis를 얻습니다. span(k(V*의 basis))를 W라고 하면 이제 V는 dual space of W가 될텐데요,
처음에 W의 존재성을 가정한 게 마음에 매우 걸립니다.
그리고 이런 식으로 책에 나온 정리에 근거해서 전개한다고 해도(이 방법이 맞는지는 차치하고) 계속 답답한 느낌이 남아있습니다… 예를 들어 위에서 언급한 R^2이 어떤 벡터 스페이스의 dual이라는 건데 이게 저한테는 와닿지가 않거든요…
좀 길어졌네요.
1. 저거 정말 참인가요?
2. 저게 참이라면 제 엉성한 논리전개가 맞나요?
2-1. 맞다면 W의 존재성을 가정하고 출발하는 게 잘못되지 않은 이유가 뭐죠?
3. 그러면 R^2는 어떤 벡터공간의 dual이라는 건데 예시를 들어주실 수 있나요? 아무리 그래도 어떤 linear functional이 (x,y)가 된다는 게 이해가 안 됩니다.
저걸 set-theoretically 받아들이면 곤란해짐. "natural" isomorphism의 존재성으로 이해하라고 낸 문제 같은데, 여기서 "natural"이란 일단은 basis의 선택에 의존하지 않는다는 것 정도를 의미한다고 보면 됨. (자세한 정의는 훗날 category를 배울 때..) 그럼 이제 네가 위에 적은 V=V**를 잘 생각해보면 되겠지
좀 더 자세히 설명해주실 수 있나요? 그러면 R^2도 어떤 벡터스페이스의 dual이라는 건가요?
음. 저걸 R^2의 원소가 사실은 집합론적으로 함수의 정의를 생각하며 깐깐하게 보아서 하나의 linear map이고... 이렇게 보면 곤란해진다는 뜻임. 근데 V=V**를 공부한 것 같은데, 이게 '='을 쓰는 이유는 아예 identify하겠다는 뜻이잖음
왜냐하면 그 둘 사이에 "natural" isomorphism이 존재하기 때문에. 물론 V가 f.d.v.s.일 때의 이야기지만. 어쨌든 여기서는 R^2는 어떤 dual space와 "naturally" isomorphic하다고 말하는 거지.
죄송하지만 제 머리로는 아직 이해가 잘 안 되네요… 흑 별표 두개 쳐놓고 나중에 다시 들춰봐야겠습니다
R×R 의 듀얼공간이 R×R인거가 이해가 안된다고? ㄷㄷㄷ
야매식으로 설명하면 리니어 뻥셔널의 함수값은 리니어 뻥셔널에 한 벡터를 넣으면 나오는데, 관점을 조금 바꿔서 벡터에 리니어 뻥셔널을 넣었다고 볼 수도 있죠. 이 때 벡터를 고정시키고 리니어 뻥셔널을 변수로 본다면, 벡터가 또 다른 리니어 뻥셔널이 되죠.
Friedberg책 2.6절 d번 연습문제 말하는거 같은데, 문장의 동사인 "is"를 "equal to"로 해석하면 안되고 "isomorphic to"로 해석해야되요.