"relative"니까요. 조건 (iii)에 의해 Spec(B)에서 pull-back해서 얻어지는 것은 모두 0 취급하거든요. 위 그림에서처럼 Spec(A)가 Spec(B)보다 "크"다면, Spec(A) -> Spec(B)의 각 fiber에는 Spec(B)에서 pull-back되어서 오는 tangent vector가 있을 겁니다. 즉, Spec(B)와 "나란한" 벡터들이 있을 텐데 이것들을 죽여 0 취급하는 것이 Omega_{A/B}^hat입니다. 즉, Omega_{A/B}^hat은 Spec(A)의 tangent vector들 중에서 Spec(B)의 입장에선 "수직"인 tangent vector들만 남겨 두는 것입니다.
우선 cotangent vector는 대략 "각 점에서의 tangent space에서 k로 가는 선형사상들"의 모임입니다.
2.4 Example은 Spec(A)의 한 점에서의 "tangent space"는 Spec(B)의 대응되는 점에서의 tangent space의 부분공간입니다. 즉, No vertical tangent vectors! 그러므로 Spec(A)의 cotangent vector는 모두 Spec(B)의 cotangent vector를 restriction해서 얻을 수 있겠지요.
2.7 Example은 Spec(A)가 Spec(B)의 open subset이니, 처음부터 Spec(A)의 cotangent vector는 Spec(B)의 cotangent vector를 restriction해서 얻을 수 있습니다. 따라서 "relative"한 것들은 없습니다. 따라서 No "vertical" cotangent vector!
이런 누추한 곳ㅇ에 귀한 글이..
안녕하세요 친절한 설명 감사드립니다 쓰신 첫 문단과 그림을 통해, realative라는 단어가 왜 쓰였는지 이제 잘 보입니다
그런데 2.4 example의 경우 SpecB/I가 SpecB의 closed subscheme이라는 조건에서 'Spec(A)의 한 점에서의 "tangent space"는 Spec(B)의 대응되는 점에서의 tangent space의 부분공간입니다' 라는 말은, 대수적으로는 B->B/I로의 surjection으로 induce된 두 ring 의 local ring 사이의 local homomorphism으로 induce된 zariski tangent space 사이의 map을 생각하면 surjection으로 induce 됐으므로 (m/m^2)의 dual에서는 injection이 되고, 그래서 부분공간이라 말하시는것 같은데, 이런 대수적 생각없이 'closed'라는 상황에서 바로 눈에 들어오는것인지 궁금합니다.
마찬가지로 2.7에서도, Spec(A)가 Spec(B)의 open subset이라면, Spec (A)위의 한 점에서의 localization은 Spec(B)의 대응되는 점의 localizaition과 같으므로 zariski cotangent space가 같고, 따라서 No "vertical" cotangent vector 라고 이해할 수 있는것 같은데, 이것에 대해서도 같은 질문을 드리고 싶습니다.
즉, open,closed만 가지고 바로 (tangent space,cotangent space에서의 map 생각 없이) vakil의 intuition을 바로 이해하는게 가능한가? 라는 질문인데... 쓰고보니 좀 말이 안되는 것 같네요. 근사한 답변에 괜히 멍청한 코멘트를 길게 단 느낌이... 답변 감사드립니다.
그냥 직관적으로 그림으로 생각해보면... 정말로 운이 나빠 안되는 경우가 있을지 몰라도 그냥 쉬운 경우를 생각하면 부분다양체의 접공간은 원래 다양체의 접공간의 부분처람 생겼잖아요. 그림으로 그냥 단순히 직관적으로 생각하면요.
학부 미분기하 하듯이 생각해 넘기고 대수기하학에서 정말로 그럴지는 나중에 다시 따져보고 된다면 왜 되는지 안된다면 왜 안되는지를 따져 공부하면 되겠지요.