유난히 멱급수 파트의 설명이 다른 챕터에 비해 꼼꼼하지가 않은 듯 하여 제 나름대로 마지막 정리(6.5.7)를 다시 써보았습니다.
질문 1. 제가 abbott 정리 6.5.7을 정리 6으로 잘 옮겨적은게 맞나요?
질문 2. 사진에 있는 정리 1~5 및 아벨극한정리로 정리 6을 어떻게 증명해야하나요?
정리 6에서 f가 연속임은 저도 보였으나, 그 이후에서 막혔습니다.
정리 2를 보면 닫힌구간에서 미분된 멱급수가 균등수렴함을 가정하였을 때 멱급수의 극한함수의 미분에 대한 내용이 설명되어있습니다. 이를 어떻게든 적용하기 위해서는 (-R,R) 에서 미분된 멱급수가 균등수렴함을 보여야 할 것 같은데 이부분이 막막합니다. 심지어 정리 2는 닫힌구간에 대한 설명이고, 정리 6의 이것은 열린구간을 다루는지라 정리 2를 바로 적용하는것이 맞는지도 의문이네요..
+ 만약, '임의의 구간에서 멱급수가 점별수렴하면 동시에 균등수렴한다'는게 참이라면 맨 마지막에 미분된 멱급수의 균등수렴도 증명할 수 있는 힌트를 얻을 것 같습니다. 하지만 분위기상 이게 참이 아닌것같네요. ㅠ
균등수렴이 아닐수도 있음
반례는 (-R,R)이 수렴구간이지만 균등수렴하지 않는 멱급수를 생각한다음에 항별 부정적분하면 나올듯.
제 노트 마지막에 미분된 멱급수가 f' 로 균등수렴한다고 옮겨적어놓은게 아닐수도 있다는 말씀 맞죠?
예
일단 참고하겠습니다 감사합니다
균등수렴이 아닐수도 있어서 틀렸단 말임... 균등수렴이 아니다고 하면 균등수렴인 경우도 있으니까 틀리고... 애당초 6.7.8에 균등수렴이란 말 자체가 없잖음
6.7.8이 아니라 6.5.7
제가 균등수렴이라는 말이 생략된거라고 추측한 이유는, 정리 2를 사용한다고 본 책에 설명되어있는데, 정리 2는 멱급수와 미분된 멱급수 모두 균등수렴하는 상황에서 멱급수의 극한함수의 미분관계를 설명하기 때문이었어요.. 더 증명하기 막막해졌네요 ㅠㅠ
정리2는 폐구간에서 쓰는거고... 정리2가 필요한 이유는 (-R,R)보다 더 작은 임의의 폐구간을 잡으면 (-R,R)에서 미분가능성을 보일수 있기 때문임. 미분가능성은 로컬한 성질이라 이게 되는거고
균등수렴은 로컬한 성질이 아니라서 이게 안댐
점별수렴으로 놓고 증명했습니다. 감사합니다