[일반] a1a2..a_n=a1+a_2+...+a_n인 수열존재?

[익명(118.235)]

모든자연수n에대해

a_1+a_2+...+a_n=a_1a_2...a_n인

항이 n개인 유한수열 a_1,a_2,..a_n은 존재하는가?

만약 존재한다면,

무한수열 a_n이 존재해서

모든자연수m에대해

a_1+a_2+...+a_m=a_1a_2..a_m

일수있을까?

전자는 쉽게보여지지만

후자는 의문인데 존재하긴할까?

- dc official App

[익명(223.39)]

모든 자연수 n 에 대해 유한수열 (a1,a2,... an) 이 존재한다는건 무한수열 (an) 이 존재한다는건데

[익명(223.39)]

귀납법 생각해보셈

[익명(118.235)]

ㄴㄴ 전자랑후자랑의미가달라 - dc App

[익명(118.235)]

전자는 n=3일때 a1+a2+a3=a1a2a3인 3개항수열an이 a1+a2=a1a2는 만족을안해도됨 - dc App

[익명(14.37)]

a_1+a_2+...+a_n=S_n라 할때 a_(n+1)= (S_n)/(S_n - 1) 이면 성립

[익명(14.37)]

존재성은 a_1을 아무거나정한후a_2,a_3,..를 정해주면 됨.일반항표현으로 존재성을보일필요는없지

[익명(14.37)]

S_n=1만 안되도록 a_1 잡아주면 됨. a_1>1인 아무거나 잡으면 ok

[익명(77.103)]

수학적 귀납법으로 어렵지 않게 보일수 있는데, 먼저 임의의 양의 실수 u에 대해서, u+x = ux를 만족하는 양의 실수 x는 u>1이기만 하면 존재함 (x = u/(u-1)). 따라서 만약 x_1+...+x_n = x_1x_2...x_n을 만족하는 양의 실수 x_1 , .. , x_n이 존재한다면, 임의의 양의 실수 x_{n+1}에 대해서 x_1+...+x_n+x_{n+1} = x_1x_2..x_n + x_{n+1}을 만족하게 될테니 x_1x_2...x_n + x_{n+1} = x_1x_2...x_{n+1}을 만족하게끔 하는 x_{n+1}을 찾기만 하면 되고, x_{n+1} = x_1...x_n / (x_1...x_n - 1)으로 두면 됨.

[익명(77.103)]

이를 만족시키기 위해서 임의의 자연수 n에 대해서 x_1x_2...x_n > 1을 성립시켜야할 필요가 있는데, n=1인 경우에는 x_1 > 1인 아무 수나 배정해도 되고, n>1인 경우에는 산술기하평균에 의해서 x_1+...+x_n = x_1...x_n을 만족한다면 x_1..x_n ≥ n*(x_1...x_n)^{1/n}을 만족하게 되니 x_1...x_n ≥ n^{n/(n-1)} > 1을 알아서 만족하게 됨. 따라서 결국 x_1 > 1이 되도록 배정하고 나머지 수열에 대해서는 점화식 x_{n+1} = x_1...x_n / (x_1x_2..x_n - 1)을 만족하게끔 하면 본문의 조건을 모두 만족한다.

[익명(122.44)]

a_n=0

[히파수스(sunlight0318)]

무적 ㅋㅋ