* 구간 (a, b)에서 정의된 함수 f(x)의 모든 부정적분은 구간 [a, b]에서 F(x) + c로나타낼 수 있다. (단 F'(x) = f(x))
H'(x) = f(x)를 만족하는 임의의 함수를 H(x)라 하자. 또 G(x)를 G(x) = F(x) - H(x)라고 하자. x1, x2 ㅌ [a, b]인 임의의 x1, x2에 대해 평균값 정리에 의해 {H(x2) - H(x1)} / (x2 - x1) = {F(x2) - F(x1)} / (x2 - x1) - {G(x2) - G(x1)} / (x2 - x1) = f(x3)를 만족하는 x3가 구간 (x1, x2)에 존재한다. 그런데 {F(x2) - F(x1)} / (x2 - x1) = f(x3)이므로 {G(x2) - G(x1)} / (x2 - x1) = 0이고 G(x2) = G(x1) 상수함수이다. 따라서 f(x)의 모든 부정적분은 F(x) + C꼴로 나타낼 수 있다.
두가지 질문이 있는데
1. 일단 이 증명에서 오류가 있는지랑
2. 이정도면 고교과정에서는 최선이라고 봐도 될까?
가독성 너무 낮아서 ㅈㅅ;;;
- dc official App
이건 그냥 말장난임.. 그러한 H가 존재하는지를 어떻게 암.... - dc App
F'=f, H'=f 를 만족하면 (F-G)'=f'-f'=0 이므로 F'-G'=0 따라서 F-H 는 상수함수다. 로 끝나는데... 평균값 정리 쓴다고 품격이 올라가거나 그러지 않음 - dc App
도함수가 0이면 상수함수라는걸 증명할때 평균값 정리를 주로 사용하니 크게 다를건 없다고 봄.