일단 open set의 image가 open set이면 그 함수는 continuous하다는 건 알겠는데
가령 A번 문제에서 내가 생각한건 일단 모종의 open set u에 대해서 임의의 원소 p가 u의 inverse image에 속한다고 놓고,
u가 open set이므로 Br(f(p))가 u에 포함되게끔 하는 임의의 r이 존재한다고 잡았음.
그리고 epsilon = r으로 놓고 (x-3)^(1/2)이 연속함수이므로 f(Bd(p)) 가 Br(f(p))에 포함되게 하는 d가 존재함.
따라서 Bd(p)가 f inverse(u)에 속하므로 f inverse(u)는 open set이다.
이렇게 풀면 뭔가 문제에서 지정한 조건을 내가 만족시키지 못하고 어거지로 푼거같아서 좀 찝찝한데
혹시 제대로 된 풀이법은 뭐가 있을까?
글 쓰고 생각해보니 f의 연속성을 보이는 문제인데 f inverse가 연속하다는걸 당연하다고 넘어가버렸네. 이 빡대가리...
아니.. open set의 inverse image가 진짜 open 맞는지 확인하는 게 문제 의도잖아
그걸 못하겠음;
f^-1(a,b)가 뭔지 직접 계산해서 구체적으로 써봐
해보겠음
내가 처음 드는 생각은 A기준 open interval의 inverse image가 open임을 보이는 것으로 충분함(왜냐하면 R의 open set은 open interval의 disjoint union으로 써지니까), open interval의 inverse image는 open interval이거나 open interval 2개의 disjoint union
뭔가 알거같기도 하고