위키백과에 '아이소토피'라 쳐서 보면R^3 상의 커피잔의 표면과 원환면(도넛)이 isotopic 하다는데
iostopic은 homotopic의 일종이니까 두 '함수'에 대해서 그러하다고 말할 수 있을텐데 커피잔의 표면이나 원환면이 어떻게 함수임?
위키백과에 '아이소토피'라 쳐서 보면R^3 상의 커피잔의 표면과 원환면(도넛)이 isotopic 하다는데
iostopic은 homotopic의 일종이니까 두 '함수'에 대해서 그러하다고 말할 수 있을텐데 커피잔의 표면이나 원환면이 어떻게 함수임?
공간(top. space) 사이의 homotopic도 충분히 정의 가능한데요
대수위상 앞부분만 배운거면 중간부분 찾아보면 잘 나옴
대수위상 아니고 위상 초짜에요.. 그니까 homotopic이, 어떤면에선 의미가 두 가지라는 건가요 아니면 같은 의미에서 나온 것들인데 제가 잘 모르는 건가요..
일단 homtopy 자체는 함수 사이에서 정의하는게 맞는데 연속함수 f: X -> Y 랑 g: Y -> X가 있어서 f•g g•f랑 둘다 identity map과 homotopic하면 X와 Y가 homotopic 하다고 정의함
틀렸음 그런경우 두 공간이 homotopy equivalent라고 하거나 of the same homotopy type이라고하지 공간들이 homotopy하다고 하지 않음
도너츠를 R^3안으로 임배딩하는 함수사이의 아이소토피라 생각하셈
제가 임배딩을 잘 이해하고 있는 진 모르겠는데 도너츠랑 커피잔 표면을 R^3으로 임배딩 시킨다고 해도 그 두 함수는 정의역이 다르지 않나요..? 어떻게 아이소토피를 구성할 수 있는지 몰루겠어요..
무언가가 있는데 그 무언가를 커피잔모양이 되게 넣는것 도넛모양이 되게 넣는것을 embedding이라고 생각하면 됨 그 무언가에서 저 둘의 모양을 만드는게 불가능하다면 isotopic한지 안한지 볼필요도 없이 그냥 다른 objects임 호모토피고 아이소토피고 공간을 분류하고자 하는거라서 위상적으로 같은 도메인을 embedding할 수 없다면 애초에 isotopy에 관한 질문도 할 필요가 없음
도너츠랑 커피잔 표면은 homeomorphic 해요 그래서 두 embedding의 정의역을 같다고 할 수 있어요. 정확히 표현하자면 토러스를 정의역으로 두고, R3로 자연스러운 embedding을 줄 수 있고 다른 하나는 토러스를 커피잔으로 변형(homeomorphism)한다음 embedding을 줄 수 있어요. 이 두 embedding이 isotopic하다는 거에요.
답변 감사해요 그런데 R^3로의 '자연스러운' embedding가 정확히 무엇을 의미하나요..? 사실 함수가 아니라 대상 간의 isotopic을 정의하고 싶은데 그러기 위해서 embedding 개념을 사용하는 이유도 잘 모르겠네요..
토러스나 커피잔이라는 대상을 어느 공간 위에 두고?보냐에 따라 isotopic함이 달라질텐데 R^3상에 embedding 해서 그 대상들을 R^3의 성질로 제한하려고? 그런건가요?
ㅇㅇ 도넛과 커피잔이 homeomorphic하다는건 이미 공간으로서 저 둘은 위상적으로 구분할수가 없음. isotopy의 경우는 어떤공간에 저것들을 어떻게 embedding하느냐에 대한 토픽이라 당연히 ambient space도 고려해야함 예들들어 R3에 구멍이 있는데 커피잔은 안쪽에 구멍이 가도록 넣고 도넛은 구멍이 밖에 있도록 넣으면 (표면에 대해서 얘기하고 있으니까) 그 둘은 isotopic하지 않을거임