대충이해하기로는
두 topological space X,Y가 topological space Z에서 isotopic 하다는 게
우선 둘은 homeomorphic이어야하고
둘과 homeomorphic인 X_t (0<=t<=1, X_0 = X, X_1 = Y) 들을 우선 생각할 수 있는데 여기서 homeomorphic만으로는 그냥 같다는 것 외엔 할게 없으니까
적절한 원하는 위상공간 Z에 embedding 시켜서 X,Y 그리고 X_t가 Z에서 자리잡은 구조?를 정해줄 수 있고(실은 Z에 자리잡은 이 X,Y가 isotopic을 확인하려는 정확한 대상) 자리잡은 X_t가 적절한 조건이 성립하는 지 정의해줄 수 있는데 이 조건이 바로
두 embedding : X,Y -> Z 가 homotopic하다는 조건과 동치인,
"X_t와 homeomorphic한 아무 set을 W라고 할 때,
H : W × [0,1] -> Z,
H(x,t) = 'W에서 Z에 자리잡은 X_t로의 homeomorphism'
가 연속함수이다."
사실 isotopic 정의할 때 map들에 대해서는 정의가 잘 되는데 그냥 topological spsce X, Y간의 isotopic은 embedding의 정의역인 W부분이 필요없어 보여서 좀 이상하긴한데 걍 이렇게 정의해봤습니다. 근데 적다보니 isotopic이 사실 기본적으로 topological space간에 적용되는 것 같기도 하고
쨋든 이러한 X_t가 존재할 때 X,Y가 isotopic 하다고 이해해도 될까요? 그리고 사실 이 정의를 엄밀히 해주는 게?(자리잡았다는 단어의 엄밀함?) embedding일까요?
두 topological space X,Y가 topological space Z에서 isotopic 하다는 게
우선 둘은 homeomorphic이어야하고
둘과 homeomorphic인 X_t (0<=t<=1, X_0 = X, X_1 = Y) 들을 우선 생각할 수 있는데 여기서 homeomorphic만으로는 그냥 같다는 것 외엔 할게 없으니까
적절한 원하는 위상공간 Z에 embedding 시켜서 X,Y 그리고 X_t가 Z에서 자리잡은 구조?를 정해줄 수 있고(실은 Z에 자리잡은 이 X,Y가 isotopic을 확인하려는 정확한 대상) 자리잡은 X_t가 적절한 조건이 성립하는 지 정의해줄 수 있는데 이 조건이 바로
두 embedding : X,Y -> Z 가 homotopic하다는 조건과 동치인,
"X_t와 homeomorphic한 아무 set을 W라고 할 때,
H : W × [0,1] -> Z,
H(x,t) = 'W에서 Z에 자리잡은 X_t로의 homeomorphism'
가 연속함수이다."
사실 isotopic 정의할 때 map들에 대해서는 정의가 잘 되는데 그냥 topological spsce X, Y간의 isotopic은 embedding의 정의역인 W부분이 필요없어 보여서 좀 이상하긴한데 걍 이렇게 정의해봤습니다. 근데 적다보니 isotopic이 사실 기본적으로 topological space간에 적용되는 것 같기도 하고
쨋든 이러한 X_t가 존재할 때 X,Y가 isotopic 하다고 이해해도 될까요? 그리고 사실 이 정의를 엄밀히 해주는 게?(자리잡았다는 단어의 엄밀함?) embedding일까요?
뭔말인지 모르겠어서 원문은 안읽음 자꾸 정의역 얘기하는데 두 임베딩에대해 homotopy를 말한다는거 자체가 두 임베딩의 도메인이 (적어도 위상공간으로서) 동일하다는걸 가정하고있음. 그리고 homeomorphism은 위상공간의 동일함으로서 상당히 강력한 조건/결과임 그냥 같다라는얘기니 할게 없다라는건 대수위상 자체에 태클을 거는 행위라는걸 알아두고 isotopy를 생각할때 자꾸 homeomorphism을 엮는것도 뭔가 크게 모르고있다는 증거라고 봄 이미 같다고 가정을 해놓고 시각적인 직관에 집착하지말고 정의는 그냥 있는그대로 받아들이길 바람
일단 전제가 조금 달라요. homotopic과 isotopic은 둘다 map에 붙힐 수 있는 형용사에요. 즉 이전 example에서 토러스를 lR3로 임베딩하는 두가지 맵, 하나는 토러스 그 자체, 다른 하나는 도너츠로 바꿔서 넣는거, 그 두가지의 embedding이 isotopic하다 라고 부를 수 있어요.
형용사가 아니라 관계겠지 임베딩된 토러스를 오지지날 토러스 자체라고 부르고 도넛으로 변형시켜서 넣는다느니등 표현으로 질문자 헷갈리고 임베딩에 관한 오개념 갖도록 하지 마시길 바람
isotopic=homotopic through embedding