[일반] 고등 수준 증명좀 도와주오

[익명(223.39)]

{f(x+1)+f(x-1)}/2=f(x)+ax+b을 만족하는 f(x)가 이차함수임을 미적분 개념 없이(수2,미적분 이상 범위) 증명을 못하겠어

혹시 위에거 되면 {f(x+k)+f(x-k)}/2k=f(x)+ax+b을 만족하는 f(x)도 이차함수임을 미적분 없이 증명할수 있을까?

[ultraproduct(ultraproduct)]

저 함수에 대한 추가적인 조건이 없으면 f(x)가 이차함수라는 보장이 없음. (a,b는 고정된 상수겠지?)

[익명(110.13)]

ab실수인데 그래도 안돼?

[익명(110.13)]

이차함수이려면 어떤 조건이 더 붙어야돼?

[익명(110.13)]

어짜피 고등 범위라 함수는 다항 지수 로그 정도인데 위에서 내가 말한 f(x)는 다항함수야

[익명(110.13)]

x는 모든 실수고

[ultraproduct(ultraproduct)]

다항함수라는 조건이 있으면 쉽지. 최고차항의 차수를 n으로 놓고 생각해봐.

[익명(110.13)]

ax^n+bx^(n-1)... 이렇게 미정계수로 풀라는 소리야?

[ultraproduct(ultraproduct)]

확실하게 2차함수라고는 말 못하지만, 2차 혹은 3차함수임을 알 수 있음. 3차함수 예시: f(x)=x^3, a=3, b=0

[익명(110.13)]

4차 이상은 안되는 거야? 그렇게 생각한 이유가 있을까?.. 직관이면 대강 이유라도 설명해주라... 귀찮게 해서 미안해

[ultraproduct(ultraproduct)]

(Δf)(x)=f(x+1)-f(x)로 정의 (차분, difference, calm 아님.) 그러면 주어진 식은 (Δ^2 f)(x-1)=ax+b 임을 알 수 있고, 다항식의 차분은 차수를 1 낮추는 역할을 하므로, f는 2차 (a=0) 혹은 3차가 (a!=0) 되어야 함.