아직도 ㅈ뉴비지만 그래도 공부를 조금이나마 해본 경험상 아무래도 어떤걸 처음 공부할때는 모티베이션이 있는게 훨씬 도움이 됐던것 같아서 어떻게든 약을 팔아보겠읍니다

사실 복소기하 그 자체로도 여러가지 주제들도 많고 해석적으로 다룰 주제들도 많겠지만 그건 저의 관심사가 아니므로 깔쌈하게 패스하고 대수기하적인 관점만 간단하게 설명해봄

(※주의사항: 간단하게 설명한다곤 했지만 그래도 (우리학교 기준) 복소다양체는 600번대 과목이기도 하고 실제로 시작하자마자 (다변)복소해석은 기본으로 깔고가고 manifold랑 vector bundle같은거 막 갖다쓰면서 시작 해서 좀 어려울 수 있음 ㅇㅇ
내가 설명이 고자라 그럴수도 있는데 그건 뭐 어떻게 할수가 없는거라...
그래서 기본적으론 학부에서 적당히 굴랐거나 대학원 신입생인데 뭐 할지 안 정한 사람들이 걍 기웃거리는 용도로만 읽으면 좋을?듯)


0-1) 복소다양체가 그래서 대수기하랑 뭔 상관임?

여러가지가 있겠지만 가장 큰 이유로는 Serre의 GAGA가 가장 큰 이유라고 볼 수 있음
정확한 명제를 다루려면 다뤄야될것도 많고 솔직히 나도 잘 몰라서 큰 그림만 제시해봄

기본적으로 대수기하에서 다루는건 적당한 field k에 대해서 affine space k^n 혹은 projective space P_k^n 안의 다항식으로 정의되는 해집합(좀 더 멋진 용어론 variety)들이라고 생각하면 됨
물론 이제 산술기하쪽 하는 사람들이야 그런 체를 겁나 일반적으로 잡겠지만 나는 그냥 기하쪽 관심있어서 사실상 k가 복소수 C인걸 주로 다룸

위에서 다항식의 해집합이라고 했는데 어렵게 생각할것 없이 k가 실수 R이고 차원 n이 2인 affine space R^2를 생각하면 고등학교때 배웠던 이차곡선 같은것들이 가장 쉬운 variety의 예시가 되겠지

또 대수기하는 variety같은 공간도 중요하지만 그 위에서 정의되는 "좋은" 함수들에 대해서도 다룸
variety같은 경우는 좋은 함수라는게 다항식이거나 다항식들의 분수함수같은 케이스가 됨

이에 비해서 복소다양체는 C^n의 open set들을 적당히 잘 붙여 놓은 공간이고 그 위의 좋은 함수는 holomorphic이거나 meromorphic인 함수들임

그래서 이것만보면 대체 저거 두개 사이에는 둘 다 C 위에서 정의 된거 말곤 상관이 없지 않냐고 물을수도 있는데 이제 학부 복소해석을 생각해보면 holomorphic function이 생각보다 제약조건이 많다는걸 알잖슴
예를들어 그냥 연속함수나 smooth function은 온갖 멍청한 짓거리들을 할 수 있고 개끔찍한 반례들도 수도 없이 나오는데 holomorphic function on C는 bounded면 상수함수고 항상 멱급수전개 가능하고 어쩌구 저쩌구같이 생각보다 다항함수랑 비슷하단 말이지

그걸 이제 수학적으로 엄밀하게 말한게 Serre의 GAGA인데 정말 나이브하게 설명하면 C 위의 variety V에 대해서 거기에 대응되는 복소다양체 V^an이 존재하고 V 위에 있는 "좋은" 함수들은 V^an 위의 "좋은" 함수들로 "잘" 보낼 수 있다는거임
사실 singular한 점들 생각하면 복소다양체보다 좀 더 일반적인걸 생각해야되지만 그런건 ㄹㅇ 귀찮으니 생략합시다
자세한건 위키랑 렉쳐노트같은거 ㄱㄱ

그래서 C 위에서의 대수기하는 아무튼 복소다양체 위에서 쇼부를 보는걸로 퉁칠수 있다는건데 이건 꽤나 메리트가 있지

막말로 다항함수랑 분수함수만 가지고 뭘 해봐야 얼마나 하겠음
(사실 대수기하하는사람들은 실제로 온갖짓을 하긴 하는데 내가 잘 못하니까 집어 치웁시다)
그에 비해 holo/meromorphic function은 미분도 하고 적분도 하고 적분 할때 residue theorem같은것도 쓸수있고 얼마나 좋아

그니까 복소다양체 위에서는 좀 더 여러가지 툴을 쓸 수가 있고 이게 "왜 함?"의 대답임 ㅇㅇ

물론 저건 진짜 명목상의 이유고 실제로는 내가 4학년땐가 "복소+기하? 크르르 못참겠다"하면서 공부하다가 어째저째 대수기하쪽으로 와버려서 하는게 가장 큼

덤으로 대수기하는 그럼 왜 하냐고 물으면 ㅆㅂ 수학하는데 이유가 어딨어 그냥 하는거지


0-2) 그럼 연재에선 뭘 함?

기본적으론 우리학교 복소다양체론 실라버스에 나온 Wells 선생님의 Differential analysis on complex manifolds을 기본으로 하고 지금 주변사람들한테 약팔고 있는 Voisin 선생님의 Hodge theory and complex algebraic geometry vol 1책 앞부분 섞어서 나갈거라 관심 생기면 그 책들 보면 됨

그래서 레퍼런스는 저거고 실제로 뭘 할거냐면

1) 기본적인 (다변)복소해석
이건 걍 학부 복소에서 한거 다변수로 살짝 확장하고 다변수에서만 나타나는거 (Hartog's extension theorem) 간단하게 언급할듯

2) 기초적인 복소다양체와 vector bundle의 정의&dbar operator

3) sheaf&cohomology
Wells 책이 좋은게 해석가이들 대상이라 그런지는 모르겠는데 category theory 안쓰고 Godment resolution같은걸로 cohomology 정의해서 처음 공부할때 좋았음

4) Chern class 기본적인 몇개
이건 어케할지 잘 모르겠는데 일단 Wells 책이 metric이랑 connection부터 시작해서 Chern Weil theory같은것도 어땋게든 증명 다 해놔서 꽤 좋았음
근데 이걸 내가 다 설명해야될진 모르겠넹

5) Elliptic operator theory
이건 ㄹㅇ 해석학(=부등식+함수해석)이라 증명같은건 아마 대충 넘길듯? 아마 정의하고 Hodge decomposition만 적당히 설명하지 않을까 싶음

6) Kahler manifold
앞에서 했던것들을 Kahler manifold란 특수한 경우에 열심히 때려박는거임
이거 할때 sl(2,C)의 representation같은게 나오긴 하는데 이건 어케야되려나 몰?루

7) Kodaira vanishing & embedding
사실상 복소다양체 공부하는 가장 기본적인 이유라 앞의 것들이 전부 이거 하려고 한다고 보면 됨

레퍼런스 찾아보면 알겠지만 사실상 Wells 책 그대로 따라갈거임 엌ㅋㅋㅋ


마지막거에 관해 좀 첨언하면 앞에서 GAGA가 대수적인 공간을 복소다양체로 보낼수 있다고 했는데 역으로 그럼 (compact인) 복소다양체는 언제 대수적인 공간이 되는지를 물을수도 있을거아녀
좀 더 자세히 말하면 P^n에는 Fubini-Study metric이라는 좋은 metric을 줄 수 있고 P^n 안에서 다항함수로 정의되는 부분다양체에도 저기서 유도되는 metric을 줄 수가 있는데 이것들이 Hodge condition이란걸 만족함 (그래서 그런 metric을 Hodge metric이라고 부름)

그래서 거꾸로 복소다양체에 Hodge metric이라는걸 줄 수 있으면 P^n안에서 다항함수의 해로 나타나지 않을까라고 Hodge 선생님이 추측했고 Kodaira 선생님이 vanishing theorem을 써서 실제로 P^n으로 embedding된다는걸 보여서 필즈상 받은걸로 알고있음

저것만으로도 vanishing theorem이 중요하지만 이후로도 대수기하에선 Kodaira부터 시작해서 Kawamata-Viehweg vanishing, Nadel vanishing 등등 온갖 vanishing theorem들이 나오고 그걸 숨쉬듯이 쓰는데다 심지어는 Shokurov nonvanishing같은 nonvanishing theorem도 나오고 난리가 났기때매 이런걸 한번정도는 해봐서 나쁘지 않다고 볼 수가 있겠읍니다

사실 nonvanishing theorem은 좀 다르지 않나 싶긴 한데 이름 비슷하고 우리분야 대가 선생님 이름 들어가있으니 걍 넣음

물론 복소 안쓰고 Deligne이랑 Illusie가 퓨어 대수로 Kodaira vanishing을 증명하긴 했지만 솔직히 대수 어렵고 재미없고...


세줄요약

1. 복소다양체는 아무튼 대수기하할때 사용할수 있는 좋은 툴이다

2. 근데 그거랑 별개로 내가 복소다양체로 이쪽 분야를 시작했기때매 이걸로 연재하는거임

3. Wells 책 따라갈듯?



첫글이야 딱히 수학 얘기가 별로 없어서 끄적끄적하긴 했는데 진짜 수학글은 언제부터 올릴지 모루게쏘요
일단 4월 10일날 한국사능력검정부터 쳐야됨 으으으으으
오늘도 조교해야되는데 ㅈㄴ하기싫네 진짜

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