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"반례: a_{2n}=0, a_{2n+1}=n으로 주어진 수열 a_n을 생각하면 {a_n : n in N}의 derived set은 {0}이지만" 이런 댓글을 달아줬었는데 이거 an들을 모은 집합은 자연수들을 모두 모아놓은 집합이니까 이 집합의 derived set은 empty set아닌가? 왜 {0}인거지 내가 뭘 잘못 생각하고 있는건가?
너 말이 맞음. limit point랑 accumulation point랑 혼동한듯?
근데 내가 질문했던 명제는 거짓이긴함?
그거 둘은 같은 개념인데(
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Limit_point),
내가 혼동한 부분은 부분수열의 극한과 극한점 부분.
정확히는 집합의 limit point랑 수열의 accumulation point(cluster point)를 혼동했다 봐야지
미안. 내가 반례를 이상하게 잡음. 이건 약간 수정하면 되는 문제인데, 홀수번째 항은 그대로 두고, 짝수(2n)번째 항은 1/n으로 잡으면 됨.
또 알려줘서 고마워 그런데 0이 derived set에 포함되는건 알겠는데 이게 유일하단거는 어떻게 증명하면되는거야?
이제 치역을 보면, {0,1,2,3,...} 합집합 {1/2,1/3,1/4,...}가 되는데, 0이 아닌 각 점에서는 치역과 만나지 않는 열린 구간을 잡을 수 있기 때문에. (이건 쉬우니까 직접 보여봐)
이게 수직선에서 보면 0이 아닌 각 x 에 대해 진짜 조그맣게 반경을 잡아주면 치역과는 안만난다는거는 잘 알겠는데 풀이를 쓰려면 어떻게 해야해? 그냥 이렇게 적으면 되는건가? 수직선 그림 갖고 설명해서?
그걸 그림 말고 식으로 풀어내는 것도 실력임 껄껄
힌트는, '자기보다 바로 위 원소'와 '자기보다 바로 아래 원소'를 찾을 수 있다면?
방금 막 끝내고왔어! 케이스를 나눠서 어느 경우건 치역이랑 안만나도록 0아닌 원소 x를 포함하는 적당한 open interval을 잡아서 끝냄 왠지 몰라도 interval을 반드시 (x-e, x+e)꼴이어야한다고 생각을 했어서 좀 막혀있었네 ㅋㅋ