우선 검색해서 찾은 증명부터 적겠음
A가 원소가 하나보다 많은 임의의 집합이라 하자. 그러면 모든 x∈A에 대하여 f(x)≠x인 전단사함수 f : A→A가 존재함을 증명하여라.
증명) 관계 ≤*를 (A,f)≤*(B,g)⇔A⊆B∧f⊆g로 정의하고 T={(X,g)lX⊆A, ∃g : X→X s.t. g(x)≠x}라 하자. 그러면 T의 임의의 전순서부분집합은 (∪X,∪g)를 상계로 가지므로 조른의 보조정리의 가정이 성립한다.
따라서 조른의 보조정리에 의해 T는 극대원소가 존재하며 이를 (A',f')라 하자.
경우 1. A'=A
이 경우 f' : A'→A', 즉 f' : A→A는 전단사함수이므로 증명 끝
경우 2. A'≠A
A'≠A이므로 ∃x∈A-A'
경우 2-1. A-A'의 원소의 개수가 하나
A-A'의 원소를 a₀라 하고 A' 안의 어떤 두 서로다른 고정된 원소 a₁,a₂에 대해 f'(a₁)=a₂라 하자. 함수 h를 다음과 같이 정의한다.
h(x) = a₂ (x=a₀)
a₀ (x=a₁)
f'(x) (otherwise)
그러면 h(x)는 모든 x∈A에 대하여 h(x)≠x이므로 증명완료
경우 2-2. A-A'의 원소가 두 개 이상
A-A'의 서로 다른 임의의 두 원소를 a₀,a₁이라 하자. 함수 h를 다음과 같이 정의한다.
h(x) = a₁ (x=a₀)
a₀ (x=a₁)
f'(x) (otherwise)
이때 (A'∪{a₀,a₁},h)∈T인데, (A'∪{a₀,a₁},h)>*(A',f')이므로 (A',f')가 극대라는 것과 모순이다.
따라서 증명 끝
이까지인데 그러면 경우 2-2에서처럼 경우 2-1에서도 (A'∪{a₀},h)∈T인데 (A'∪{a₀},h)>*(A',f')니까 모순아님? 그러면 결과적으로 A'=A인가?
- dc official App
ㅇㅇ 극대라고 얻은 놈이 극대가 아니란데선 모순이 맞음 다만 2-1에선 극대라고 얻은놈에서 explicit하게 원하던 함수가 구해지니까 걍 한거고 2-2에선 그게 안되니까 걍 극대가 아니므로 모순 선에서 끝낸거고
그럼 2-1도 모순은 맞는 거임? - dc App
근데 모순이면 저 경우가 일어나지 않는다는 거니까 결과적으로 A'=A인가? - dc App
말한대로 zorn으로 얻은 극대 원소라고 놈이 극대가 아니란데선 모순이 맞음. 단지 그 극대원소가 아니란걸 보일때 2-1은 그 과정에서 원하던 함수가 나와버린거고 2-2는 그렇지 않은거고 어찌되던 원하던 결론을 얻는거
흐음 ㅇㅋ ㄱㅅㄱㅅ - dc App
A - A'가 공집합인 거지 A = A'라고 말할 수 없지 않음?
T의 정의에서 A'∈A임 그러니까 A'가 A보다 포함관계상으로 클 순 없지 - dc App
아니 ∈가 아니라 ⊆ - dc App
ㅈㅅ ㅋㅋ
안녕하세요 같은 문제 풀다가 이 글을 찾아서 오게 됫읍니다
마지막에 2-1도 h>*f가 되니까 모순이 아니냐고 하셨는데 2-1시작할 때 f'(a1)=a2라고 하지 않았나요? 근데 h에는 (a1, a2)가 없는 것 같아요 그래서 2-1을 어뜨케 이해해야 되는지를 잘 모르겟네요