디렉 델타 함수(Dirac delta function)은 다음을 만족하는 아주 어-썸한 '함수' delta다.

 (*는 물론 convolution)

즉 convolution에 대해서 identity로 작용한다고 볼 수 있는데, 안타깝게도 이를 만족하는 '함수'는 존재하지 않는다.

보통은 generalized function이나 point mass 등으로 얘기하는 것 같은데, 왜 '함수'라고 이름 지었는지는 디랙한테 물어봐라 왜그랬어 ㅡㅡ


암튼 얘를 처음 접한건 미분방정식 시간에 라플라스 변환 같은걸 하면서였던거 같은데,

정작 그때는 별 감상이 없었고 해석학때 배우는 approximation thm등을 얘를 통해서 이해하면 괜찮겠다는 생각이 최근에 좀 들었다

특히 convolution의 경우 한가지 변수에 대해서만 적분을 취하기 때문에 원하는 형태의 함수로 convolution하면 괜찮은 짓들을 할 수 있다.


1. Weierstrass approximation thm

[a,b]에서의 연속함수는 임의의 e에 대해서 uniform하게 근사될 수 있다.

뭐 증명하는 법이야 엄청 많겠지만, 김김계에서는 [-1,1]로 구간을 잡고 (1-x^2)^n의 상수배를 convolution취해서 증명한다.

여기서 (1-x^2)^n을 디랙 델타의 다항식 근사로 생각하고 본다면 이놈이 튀어나온 motive와 증명과정이 상당히 명료해진다.


2. Trigonometric approximation thm

[0,2pi]에서의 주기연속함수(혹은 C에서 unit circle 위에서의 연속함수)는 삼각함수들의 다항식(한글용어 따로 있나)으로 uniform하게 근사될 수 있다

Rudin에서 증명하는 법은 (1+cos theta)^n을 convolution취해줘서 증명하던거 같은데, 역시 디렉으로 생각하면 자-명해진다.


이 외에도 , 로 


인 C-inf 함수의 존재성을 보인다던가,

기타 등등 요-상한 형태들도 어느정도 motive를 갖고 임할 수 있지 않을까 싶다

수잘갤에도 며칠전에 그런 문제 올라왔는데 지금보니 지워졌음 글삭충 쉐리ㅡㅡ

(대충 1/t^2 integral t부터 1까지 어쩌구 저쩌구에서 t를 0으로 보내는거)



오토체스 하는 시간 줄이고 공부나 수잘갤하는 시간을 좀 늘려야겠단 생각이 들어서 싼 글

동형암호 얘기는 이번 주말엔 올릴 수 있도록 의지를 다지도록 하겠음