[일반] 범주론은 뭐하는 과목임?

[작전52호의실..(futurest52)]

현대대수 집합론 연장선인가

이거 선수과목은 또 어케됨?

[익명(175.124)]

선수과목은 없고 그냥 다양한 수학을 하면 나오는 비슷한 구조를 묶어서 이야기하는거임

[작전52호의실패(futurest52)]

saunder maclane 교재보니까 대수개념 엄청쓰이던데

[익명(175.124)]

선수과목이 없는게 애매한게 결국 어플리케이션이 중점인 부분이라 대수개념이 많이 튀나오지

[qqq(211.205)]

범주는 집합의 일반화라고 볼 수 있는데(원소 사이에 "morphism"이 존재함. 집합을 자기 자신으로 가는 identity morphism만 존재하는 범주로 생각 가능), sheaf cohomology 이론을 기술하는 언어임. 마치 위상수학 배울 때 아주 기본적인 집합론을 알아야 하는 것과 같은 이치. 범주에 대해서는 집합보다 훨씬 다양한 연산들이 가능함. 1. 범주 안의 "diagram"에 대해 (co)limit을 universal property로 (존재한다면) 정의할 수 있음. 2. 원소 간의 morphism space가 abelian group structure를 가지고 특정 조건들을 만족하면 morphism의 (co)ker도 생각할 수 있고 이를 abelian category라고 함.

[qqq(211.205)]

이를 이용하여 다양체가 주어졌을 때 category of sheaves on X를 정의할 수 있고, 그것이 abelian category가 됨. 이 범주의 원소에 대해 "injective resolution"을 취하여 sheaf cohomology를 정의할 수 있음. 3. 대수위상 관련된 정리들(ex. Long exact sequence)이 category를 이용하여 잘 설명할 수 있음. 그리고 product group, direct sum 같은 거의 모든 연산들을 "적절한 범주" 내에서, "적절한" diagram에 대한 (co)limit으로 해석 가능.

[qqq(211.205)]

inverse limit 같은 개념들이 나중에 중요하게 쓰일 때가 있는데, 어떤 diagram에 대한 inverse limit은 사실 universal property를 만족한다는 사실 자체가 중요한 것이지, 그것의 실제적인 구성은 그렇게 중요하지 않음. 범주론의 의의 자체가 universal property를 만족하는 (co)limit을 일단 단 한 번만 구성하고 나면, 앞으로는 전혀 그 구성에 얽매일 필요가 없다는 것에 있음.

[카카오(73.103)]

선수지식으로 현대대수는 당연히 잘 알고 있어야 되요. 논리적으로는 배우는데 지장이 없지만 현대대수 없이 의미있는 예시를 이해할 수 없거든요.

[작전52호의실패(futurest52)]

ㅇㅎ 일단 갈루아이론까지는 봤는데 대수위상 가환대수 할필요없이 바로 들어가도됨?

[카카오(73.103)]

가환대수랑 같이 배우는게 가장 좋아요. 제 생각엔 가장 중요한 예시가 module의 tensor product거든요. 사실 범주론은 범주론 책으로 공부한다기 보다는 여기저기서 많이 예시를 봄으로써 몸으로 익히는게 중요하다 생각해요. Weible의 homological algebra책이 무난할테니 한번 읽어보세요, 정 못읽겠다 싶으면 가환대수 공부하고 다시 읽어보면 되요. 대수위상도 같이 배우면 무지 좋아요. 사실 카테고리를 처음 만든 이유가 (조금 과장해서) 대수위상을 편하게 하기 위함이라 할수도 있으니까요.

[qqq(104.28)]

미분다양체 이론, 그까진 아니더라도 미분기하 지식은 필요한 것 같아여. module, tensor product 같은 대수적 대상, 연산들이 기하학적으로 되게 자연스럽게 나타나거든요.

[작전52호의실패(futurest52)]

ㅇㅋㅇㅋ 갈길이 멀구만

[카카오(73.103)]

범주론이 뭐하는 과목인지 맛보기 하나만 설명하자면. 어떤 group G가 다음과 같은 성질을 만족한다고 합시다. "임의의 group H를 가져와도, Hom(G,H) = set of group homomorphisms from G to H 가 항상 한원소 집합임" 그러면 G는 trivial group과 isomorphic 해야되요. 즉, trivial group은 다른 group들과 어떤 관계를 가지는지에 따라서 그 모양이 결정되요. 그리고 이건 단순히 trivial group뿐아니고 모든 group에 대해, 나아가서 임의의 (locally small) category안에 있는 object에 대해 이야기 할 수 있고, 이걸 Yoneda embedding이라고 불러요.

[익명(79.251)]

초심자입장에서 너무 복잡하게 설명한거같은데 걍 수학하다보면 수학적 대상의 원소보다 대상들간의 함수가 더 중요하다는걸 느낄거임. 범주론은 그 대상들간의 함수들이 어떤식으로 있고 응용할 수 있을지 일반화한거임. 원소는 그냥 함수를 정의하는데 쓰이는 정도에 불과한거지.