[대학교이상] 대수 문제 힌트좀 알려주실 분 있으신가요

[익명(118.221)]

문제가 G의 위수가 2^n 곱하기m (m은 홀수)이고 G가 순환군인 실로우 2부분군을 가질때 G는 위수가 m인 normal subgroup을 가짐을 보여라..인데 //문제에서 힌트로 귀납법을 써서 풀어보라고 했는데 m이 1이면 위수 1인 normal subgroup을 가지고 m=2p-1일 때 위수 m인 normal subgroup을 가진다고 가정하면 m=2p+1일 때 성립함을 보이면 될 거 같은데 2p-1일때를 가지고 2p+1이 성립함을 어떻게 매치시켜야 할 지 잘 모르겠습니다.

[익명(118.218)]

방금 풀이 틀려서 지웠는데, 봤으면 미안하고 이게 좋은 풀이인지는 모르겠지만 (대수 접은 지 많이 오래 되서) 1. order m이 characteristic인 걸 보일 거임 (lattice isomorphism 쓰려고) 2. index 2짜리 subgroup이 있다는 걸 Sylow theorem과 Cayley theorem을 이용해서 보임 3. smallest prime index group이 normal이고, 거기에 order m짜리 characteristic subgroup이 있음을 보임. 4. 마지막으로 이게 원래 group에서 characteristic subgroup임을 보여야 하는데

[익명(118.218)]

이건 2^n order group이 characteristic이고, order m은 normal인 거 이용해서 direct product 비스무리하게 생각한 다음에 intersection이 1인 거 이용해서 여차여차하면 나올 듯 함.

[익명(118.218)]

즉 index n에 대해서 induction 돌리는 게 좋을 듯 함. 2k+-1짜리 prime이 무한히 많으니

[익명(118.221)]

답변 감사합니다. 근데 제가 솔직하게 풀이를 이해하지 못해서 좀 더 단순한 방법으로 해봐야 할 듯 합니다..

[익명(118.218)]

Sylow p-group 나와서 Sylow theorem 이상 정도 한 줄 알았는데 오버했나보군; 아니면 m이 prime부터 시작해서 composite number로 올리는 방법도 있을 거 같은데 이건 내가 감이 안 오네.

[익명(118.221)]

m이 소수일때는 정규부분군이 있는 것 같은데 m이 합성수일 때 해봐야 할 것 같습니다! 한 번 해보겠습니다