a_1=2 , a_(n+1)=2+2/a_n일때 극한값찾는건데요
극한값이 존재만 하면 찾는건 쉬워서
우선 극한값 존재성부터 확인하려는데
수열이 2에서 3사이에서 유계인건 확인했습니다.
저 수열이 짝수항이 감소 , 홀수항이 증가하는거 같아서
a_(2k+2)-a_(2k) 가 음수고 , a_(2k+1)-a_(2k-1)이 양수임을 보이고 짝수항과 홀수항이 같은 값으로 수렴함을 보이고싶습니다
1.논리적으로 문제는 없나요?
2.짝수항과 홀수항이 각각 감소,증가하는걸 보이기 쉽지 않던데, 혹시 다른 방법이 있을까요?
이런건 보통 고정점으로 수렴값 추측하고 그걸 양변에서 뺀다음 절댓값이 0 으로 감을 보이면 되는 걸로 암 - dc App
|a_n+1-a_n|<€ 이라고 가정하고 귀납법 써서 그 다음항들의 차이도 충분히 큰 n에 대해서 작아진다고 하면 대지않을까 - dc App
저걸 직관적으로 보는 방법이 있는데 y = x 와 f(x) = 2 + 2/x 를 그리고 a_(n+1) = f(a_n) 임을 통해서 a_n이 수렴하는지(보통 교점을 확인해보면 됨) 발산하는지 대강 확인가능함
이걸 통해서 증명개요를 잡아나가도 좋다고 봄