문제가 p가 소수일 때 h(x)= x^(p-1) -x^(p-2) +x^(p-3) -... -x +1이 유리수에서 Irreducible 임을 보여라입니다. 시도한 방법으로 h(x)가 Q에서 reducible
이라 가정하고 h(x)=a(x)b(x) // dega(x)<p-1 degb(x) <p-1 이라 놓고 p가 2가 아닐 때 h(1)=a(1)b(1)=1이 되고 새로운 함수 k(x)=a(x)-b(x)로 잡는 것 까지 했는데 혹시 이 방법으로 풀 수 있는지 질문드립니다.
저 문제는 Eisentein써서 증명하는게 주로 쓰는 방법이긴 할텐데 귀류법써서 하는건 될지 잘 모르겠네;
Eisenstien 써서 증명하는거면 h(x+1)전개해서 해보면 될까요??
ㅇㅇ
h(x+1)전개해보았는데 x^(p-2)의 계수가 p-2가 나와서(p-2가 항상 소수가 아니어서) Eisenstien 을 만족시키는 소수를 찾기가 어렵지 않나요??
우선 h(x)에 (x+1)을 곱해봐.
h(x)=(x^p +1)/(x+1) 이 나왔습니다
그럼 h(x-1)은 뭐가 되는데?
x^(p-1)-px^(p-2)+...+1이 나오는 것 같습니다(p가 2가 아닌소수)
상수항 1이 왜 나와 eisenstein 사용가능한 형태로 나올텐데.
감사합니다.. 상수항 지워지고 아이젠슈타인 쓰는 방향으로 나오네요 감사합니다
p=2일때는 자명하구 p=3일때는 근의공식쓰면 유리수해없으니까 넘기고 이제 p=5이상일때 x^p+1 x+1로 나누면 나오는게 저 식이니까 그거 이용해보셈 - dc App