g(x)=(e^-((2x))f(x)를 정의하는데
친구가 미분방정식으로 가져온거라 하거든용
구체적으로 어떻게 정의되는지
과정을 살짝 알고 싶습니다!!
물론 저게 자연스러운 풀이라고 하는 친구도 있긴한데
제 입장에선 조금 정의를 강요하는 느낌이여서요~!
[대학교이상] 함수가 상수임을 보이는 해석학 문제 질문입니다!
익명(223.38)
2022-04-08 23:54
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댓글 14
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그냥 f'(x) - 2f(x) <= 0을 써먹기 위해서 저런 발상을 했다고 생각하면 된다. f'(x) - 2f(x) = 0라는 미분방정식을 해결하기 위해서 e^{-2x}f(x)의 도함수를 생각하는 것처럼, 발상은 비슷함. 실제로 본문의 문제는 Gronwall's inequality의 특별한 경우이고 이 발상을 Gronwall's inequality를 증명할 때 똑같이 사용한다.
제가 미분 방정식을 안배웠어서 과정이 너무 궁금했습니다!! 너무 감사해요 부등식 이해해보도록 노력해보겠습니다!!
본문의 문제는 그냥 평균값 정리 써서도 풀 수 있는데, 임의의 (0, 1/4] 위의 x에 대해서, 평균값 정리에 의해서 f(x) = f(x) - f(0) = xf'(c_x) <= 2xf(c_x)를 만족하는 c_x가 (0,x) 위에서 존재함. 따라서, 임의의 [0,1/4] 위의 x에 대해서, f(x) <= 1/2 * max_{0<=t<=1/4}f(t)를 만족하게 되므로 [0,1/4] 위에서 f(x)가 최대가 되는점 x를 선택하면 f(x) <= 1/2 * f(x)를 만족하므로, [0,1/4] 위에서 f의 최댓값은 0이 되어야 함을 알 수 있음. 마찬가지로 1/4만큼 오른쪽으로 이동한 [1/4,1/2] 위에서 똑같은 논리를 반복해 줄 수 있고, 이것을 [1/2,3/4], [3/4,1] 위에서 똑같이 적용하면 됨.
글 저장하고 이 방법도 연구해 보겠습니다!!! 감사합니다!!
그냥 즉흥적으로 쓴 풀이라서 다듬지 못했는데, 실제로는 f가 증가함수라서 f(x) <= 2xf(c_x) <= f(c_x)/2로부터 이미 f(x)=0이 되어야 할수밖에 없다.
그냥 미방 수업 첫주차만 들어보면 알 수 있는데 linear 1st ode y' + p(x)y = q(x) 를 일반적으로 저런 방식으로 구함 이런걸 적분인자법이라고 부름
좀 직관적으로 생각해보면 고딩때 y' = y 라는걸 미방을 풀라 하면 일반적으로 y' / y = 1 로 나눠서 하겠지만 y = 0이면? 이라는 생각을 해볼수 있고, 그러면 y를 안나누고 y = Ce^x 임을 유도할 수 있나? 라는 생각을 하다 보면 저런 식이 나옴
헐 그리도 생각할수 있었군요!! 검색좀 해보겠습니다!! 어떤걸 검색해야하는지 알려줘서 고마워요!!
그냥 직관적으로 생각해보면, 임의의 C>0에 대해서 g(x) = Ce^{2x}라는 함수를 고려하자. 그렇다면 g'(x) = 2g(x)를 만족한다. 근데 f의 증가속도를 나타내는 f'(x)는 오히려 2f(x)보다 작거나 같으니까, 만약 f(a) <= g(a)를 만족한다면 f'(a) <= 2f(a) <= 2g(a) = g'(a)를 만족하니까, x=a에서 함수가 증가하는 속도도 g가 더 빠르니, x>a에서도 f는 g를 추월하지 못하고 f(x) <= g(x)는 그대로 유지되지 않을까? 라고 생각할 수 있겠지. 한편 C는 임의로 작게 잡아줄 수 있고.
결국 이 직관을 수학적으로 정당화할 필요가 있는데, f와 g를 비교하기 위해서 비율 f/g를 취해서 고려한다면 결국 e^{-2x}f(x)를 고려하는 셈이니 본문의 풀이가 나오는 것이고, 만약 차이 g-f를 고려한다면, f가 g를 어느 순간에 추월한다고 가정하고 논리를 전개하면, 마찬가지로 평균값의 정리를 써서 모순을 얻을수 있다. C는 임의적으로 작게 잡을수 있으니까 f=0을 마찬가지로 얻게 된다.
글씨 카와이하네
글씨 이뿌당 - dc App
글씨이쁘다
ㄹㅇ